Составим уравнения для случаев с изменением скоростей.
- Если оба поезда движутся со скоростью скорого поезда ( v_s ), то время до встречи будет:
[
t_s = \frac{1800}{2v_s}
]
По условию, это время на 3 часа меньше фактического времени:
[
t_s = t - 3
]
Подставим выражение ( t ) из первого уравнения:
[
\frac{1800}{2v_s} = \frac{1800}{v_p + v_s} - 3
]
Умножим обе стороны на ( 2v_s(v_p + v_s) ), чтобы избавиться от дробей:
[
1800(v_p + v_s) = 3600v_s - 6v_s(v_p + v_s)
]
Перепишем и упростим уравнение:
[
1800v_p + 1800v_s + 6v_s^2 = 3600v_s
]
[
1800v_p + 6v_s^2 - 1800v_s = 0 \quad \text{(1)}
]
- Если оба поезда движутся со скоростью пассажирского поезда ( v_p ), то время до встречи будет:
[
t_p = \frac{1800}{2v_p}
]
По условию, это время на 6 часов больше фактического времени:
[
t_p = t + 6
]
Также подставим ( t ):
[
\frac{1800}{2v_p} = \frac{1800}{v_p + v_s} + 6
]
Умножим обе стороны на ( 2v_p(v_p + v_s) ):
[
1800(v_p + v_s) = 3600v_p + 12v_p(v_p + v_s)
]
Упростим уравнение:
[
1800v_p + 1800v_s - 12v_p^2 - 12v_pv_s = 3600v_p
]
Перепишем:
[
1800v_s - 12v_p^2 - 12v_pv_s - 1800v_p = 0 \quad \text{(2)}
]
Решим систему из двух уравнений.
Решим уравнение (1):
[
1800v_p + 6v_s^2 - 1800v_s = 0 \quad \text{(1)}
]
Отсюда:
[
1800v_p = 1800v_s - 6v_s^2 \quad (3)
]
Подставим (3) в уравнение (2):
[
1800v_s - 12 \left(\frac{1800v_s - 6v_s^2}{1800}\right)^2 - 12\left(\frac{1800v_s - 6v_s^2}{1800}\right)v_s - 1800\left(\frac{1800v_s - 6v_s^2}{1800}\right) = 0
]
Решив эту систему уравнений, мы найдем скорости ( v_p ) и ( v_s ).
