решить интеграл

На изображении представлены интегралы, и я помогу с решением некоторых из них.

Рассмотрим интеграл из пункта 3, варианта 19:

\[ \int (5x^2 + 10x + 1) \, dx \]

Решение:

Для нахождения неопределенного интеграла от многочлена, мы применим правило интегрирования каждого слагаемого по отдельности, используя формулу: \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]

где \( C \) — константа интегрирования.

Теперь найдем интегралы каждого слагаемого:

1. \( \int 5x^2 \, dx = 5 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{5x^3}{3} \)
2. \( \int 10x \, dx = 10 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 5x^2 \)
3. \( \int 1 \, dx = x \)

Соберем всё вместе:

\[ \int (5x^2 + 10x + 1) \, dx = \frac{5x^3}{3} + 5x^2 + x + C \]

Это решение интеграла.