В треугольнике abc угол A=135°,угол B=30° BC=13√2см найдите ас

Чтобы найти сторону \( AC \) в треугольнике \( ABC \), где угол \( A = 135^\circ \), угол \( B = 30^\circ \), и сторона \( BC = 13\sqrt{2} \) см, можно воспользоваться теоремой синусов или косинусов. Поскольку мы знаем углы и одну сторону, теорема синусов будет наиболее удобна для этой задачи.

Шаг 1: Найти угол C

Сначала найдём угол \( C \) с помощью формулы: \[ C = 180^\circ - A - B \] Подставляем значения: \[ C = 180^\circ - 135^\circ - 30^\circ = 15^\circ \]

Шаг 2: Сформулировать теорему синусов

Согласно теореме синусов: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] где:

• \( a = BC \)
• \( b = AC \)
• \( c = AB \)

Поскольку нам известна сторона \( BC \) и мы хотим найти сторону \( AC \), можем использовать: \[ \frac{AC}{\sin A} = \frac{BC}{\sin C} \]

Шаг 3: Подставить известные значения

Заменим известные значения в формулу: \[ \frac{AC}{\sin(135^\circ)} = \frac{13\sqrt{2}}{\sin(15^\circ)} \]

Шаг 4: Найти синусы углов

Значения синусов следующих углов:

• \( \sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• \( \sin(15^\circ) \) можно найти по формуле: \[ \sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) - \cos(45^\circ)\sin(30^\circ \] \[ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \]

Шаг 5: Подставить найденные значения синусов

Теперь подставим эти значения: \[ \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{13\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}} \] Упрощаем правую часть: \[ = 13\sqrt{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{52\sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} \]

Шаг 6: Упростить уравнение

Умножим обе стороны на \(\frac{\sqrt{2}}{2}\): \[ AC = \frac{52\sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{52 \cdot 2}{2(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{52}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} \]

Шаг 7: Привести к конечному виду

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённый корень: \[ = \frac{52(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{52(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = 13(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \]

Таким образом, длина стороны \( AC \) равна: \[ AC = 13(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \text{ см} \]

Итог

Сторона \( AC \) в треугольнике \( ABC \) равна \( 13(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \) см.