Коробке лежат  26 круглых пуговиц и  33 квадратных. Из коробки парами достают пуговицы. Если достают две пуговицы одинакового цвета, то в коробку кладут квадратную пуговицу, а если разного, то круглую. Какая пуговица окажется в коробке последней?

Для решения этой задачи давайте проанализируем ситуацию шаг за шагом. 1. **Исходные данные:** - У нас есть 26 круглых пуговиц (обозначим их как \( K \)). - У нас есть 33 квадратные пуговицы (обозначим их как \( Q \)). 2. **Правила вытаскивания пуговиц:** - Если достают две пуговицы **одинакового** цвета (две круглые или две квадратные), то в коробку добавляется одна квадратная пуговица. - Если достают две пуговицы **разного** цвета (одна круглая и одна квадратная), то в коробку добавляется одна круглая пуговица. 3. **Поиск закономерностей:** - Обратите внимание, что при каждом извлечении двух пуговиц, общее количество пуговиц в коробке уменьшается на одну (так как мы вытаскиваем две и добавляем одну). - При вытаскивании одинаковых пуговиц остается одна квадратная пуговица и уходит по 2 круглых, что не изменяет количество квадратных пуговиц, но сокращает количество круглых. - При вытаскивании разного цвета, одна квадратная пуговица уходит, а добавляется одна круглая, что оставляет количество квадратных пуговиц на месте и увеличивает количество круглых. 4. **Счет пуговиц:** - Начальное количество пуговиц: \( 26 + 33 = 59 \) пуговиц. - Мы будем продолжать этот процесс до тех пор, пока не останется одна пуговица. При этом важно обратить внимание на количество квадратных пуговиц \( Q \). Каждый раз, когда мы добавляем квадратную пуговицу, общее количество квадратных пуговиц может менять свое четное или нечетное состояние. Начальное количество квадратных пуговиц у нас — 33. Это нечетное число. 5. **Финальный результат:** - Мы продолжаем повторять процесс вытаскивания пуговиц. Поскольку каждый раз, когда мы вытаскиваем пуговицы, количество их уменьшается на одну, и учитывая, что квадратные пуговицы не могут полностью исчезнуть до тех пор, пока их количество не станет четным, и мы все равно будем уменьшать количество круглых пуговиц. - В результате, когда у нас останется одна пуговица, она обязательно будет **круглой**, потому что одно нечетное количество квадратных пуговиц не сможет привести к тому, чтобы квадратная пуговица осталась последней. Таким образом, **последней в коробке окажется круглая пуговица**.