{x²+xy-3y=9 {3x+2y=-1

Для решения системы уравнений:

1. \( x^2 + xy - 3y = 9 \)

2. \( 3x + 2y = -1 \)

мы воспользуемся методом подстановки или методом исключения. Начнем с второго уравнения, поскольку оно линейное и проще для выражения одной переменной через другую.

Шаг 1: Выразим одну переменную через другую

Из второго уравнения \( 3x + 2y = -1 \) выразим \( y \):

\[ 2y = -1 - 3x \] \[ y = \frac{-1 - 3x}{2} \]

Шаг 2: Подставим выражение для \( y \) в первое уравнение

Теперь подставим найденное значение \( y \) в первое уравнение:

\[ x^2 + x\left(\frac{-1 - 3x}{2}\right) - 3\left(\frac{-1 - 3x}{2}\right) = 9 \]

Упростим это уравнение. Сначала раскроем скобки:

\[ x^2 - \frac{x(1 + 3x)}{2} + \frac{3(1 + 3x)}{2} = 9 \] \[ x^2 - \frac{x + 3x^2}{2} + \frac{3 + 9x}{2} = 9 \]

Чтобы избавиться от дробей, умножим всё уравнение на 2:

\[ 2x^2 - (x + 3x^2) + (3 + 9x) = 18 \] \[ 2x^2 - x - 3x^2 + 3 + 9x = 18 \] \[ -x^2 + 8x + 3 - 18 = 0 \] \[ -x^2 + 8x - 15 = 0 \]

Умножим на -1, чтобы сделать коэффициент при \( x^2 \) положительным:

\[ x^2 - 8x + 15 = 0 \]

Шаг 3: Решим квадратное уравнение

Теперь применим формулу для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = -8 \), \( c = 15 \).

Подставим значения:

\[ x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2} \] \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{2} \] \[ x = \frac{8 \pm 2}{2} \]

Итак, у нас два решения для \( x \):

1. \( x = \frac{10}{2} = 5 \)
2. \( x = \frac{6}{2} = 3 \)

Шаг 4: Найдем соответствующие значения \( y \)

Теперь, подставив значения \( x \) обратно в \( y = \frac{-1 - 3x}{2} \):

1. Для \( x = 5 \): \[ y = \frac{-1 - 3 \cdot 5}{2} = \frac{-1 - 15}{2} = \frac{-16}{2} = -8 \]

2. Для \( x = 3 \): \[ y = \frac{-1 - 3 \cdot 3}{2} = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]

Шаг 5: Запишем окончательные решения

Таким образом, система уравнений имеет два решения:

1. \( (x, y) = (5, -8) \)
2. \( (x, y) = (3, -5) \)

Итог

Система уравнений:

\[ \begin{cases} x^2 + xy - 3y = 9 \\ 3x + 2y = -1 \end{cases} \]

имеет два решения: \( (5, -8) \) и \( (3, -5) \).