6 cos 2 10 x sin 2 10 x − cos 4 10 x − sin 4 10 x = 1 6cos 2 10xsin 2 10x−cos 4 10x−sin 4 10x=1
Давайте разберем ваше уравнение шаг за шагом. У нас есть следующее уравнение:
\[ 6 \cos^2(10x) \sin^2(10x) - \cos^4(10x) - \sin^4(10x) = 1 \]
Чтобы упростить это уравнение, воспользуемся некоторыми тригонометрическими тождествами.
Шаг 1: Используем формулу для \(\cos^4\) и \(\sin^4\)
Мы знаем, что:
\[ a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2a^2 b^2 \]
где \( a = \cos(10x) \) и \( b = \sin(10x) \). Подставим наши элементы:
\[ \cos^4(10x) + \sin^4(10x) = (\cos^2(10x) + \sin^2(10x))^2 - 2 \cos^2(10x) \sin^2(10x) \]
Так как \(\cos^2(10x) + \sin^2(10x) = 1\):
\[ \cos^4(10x) + \sin^4(10x) = 1 - 2 \cos^2(10x) \sin^2(10x) \]
Шаг 2: Подставляем в уравнение
Теперь подставим это в первоначальное уравнение:
\[ 6 \cos^2(10x) \sin^2(10x) - (1 - 2 \cos^2(10x) \sin^2(10x)) = 1 \]
Шаг 3: Упростим уравнение
Раскроем скобки:
\[ 6 \cos^2(10x) \sin^2(10x) - 1 + 2 \cos^2(10x) \sin^2(10x) = 1 \]
Сложим подобные члены:
\[ (6 + 2) \cos^2(10x) \sin^2(10x) - 1 = 1 \]
\[ 8 \cos^2(10x) \sin^2(10x) - 1 = 1 \]
Шаг 4: Переносим 1 на правую сторону
Теперь добавим 1 к обеим сторонам:
\[ 8 \cos^2(10x) \sin^2(10x) = 2 \]
Шаг 5: Делим на 8
Теперь делим обе стороны на 8:
\[ \cos^2(10x) \sin^2(10x) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \]
Шаг 6: Используем тождество \(\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)\)
Мы можем выразить \(\cos^2(10x) \sin^2(10x)\) через \(\sin(20x)\):
\[ \cos^2(10x) \sin^2(10x) = \frac{1}{4} \sin^2(20x) \]
Таким образом, наше уравнение становится:
\[ \frac{1}{4} \sin^2(20x) = \frac{1}{4} \]
Шаг 7: Убираем множитель \(\frac{1}{4}\)
Умножим обе стороны на 4:
\[ \sin^2(20x) = 1 \]
Шаг 8: Находим корни
Это уравнение выполняется, когда:
\[ \sin(20x) = 1 \quad \text{или} \quad \sin(20x) = -1 \]
Таким образом, мы получаем:
- \(20x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\) (где \(k\) — любое целое число)
- \(20x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\)
Решая для \(x\):
- \(x = \frac{\pi}{40} + \frac{k\pi}{10}\)
- \(x = \frac{3\pi}{40} + \frac{k\pi}{10}\)
Ответ
Таким образом, общее решение уравнения:
\[ x = \frac{\pi}{40} + \frac{k\pi}{10}, \quad k \in \mathbb{Z} \quad \text{ и } \quad x = \frac{3\pi}{40} + \frac{k\pi}{10}, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Если что-то осталось непонятным, не стесняйтесь спрашивать!
