6 cos ⁡ 2 10 x sin ⁡ 2 10 x − cos ⁡ 4 10 x − sin ⁡ 4 10 x = 1 6cos 2 10xsin 2 10x−cos 4 10x−sin 4 10x=1

Давайте разберем ваше уравнение шаг за шагом. У нас есть следующее уравнение: \[ 6 \cos^2(10x) \sin^2(10x) - \cos^4(10x) - \sin^4(10x) = 1 \] Чтобы упростить это уравнение, воспользуемся некоторыми тригонометрическими тождествами. ### Шаг 1: Используем формулу для \(\cos^4\) и \(\sin^4\) Мы знаем, что: \[ a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2a^2 b^2 \] где \( a = \cos(10x) \) и \( b = \sin(10x) \). Подставим наши элементы: \[ \cos^4(10x) + \sin^4(10x) = (\cos^2(10x) + \sin^2(10x))^2 - 2 \cos^2(10x) \sin^2(10x) \] Так как \(\cos^2(10x) + \sin^2(10x) = 1\): \[ \cos^4(10x) + \sin^4(10x) = 1 - 2 \cos^2(10x) \sin^2(10x) \] ### Шаг 2: Подставляем в уравнение Теперь подставим это в первоначальное уравнение: \[ 6 \cos^2(10x) \sin^2(10x) - (1 - 2 \cos^2(10x) \sin^2(10x)) = 1 \] ### Шаг 3: Упростим уравнение Раскроем скобки: \[ 6 \cos^2(10x) \sin^2(10x) - 1 + 2 \cos^2(10x) \sin^2(10x) = 1 \] Сложим подобные члены: \[ (6 + 2) \cos^2(10x) \sin^2(10x) - 1 = 1 \] \[ 8 \cos^2(10x) \sin^2(10x) - 1 = 1 \] ### Шаг 4: Переносим 1 на правую сторону Теперь добавим 1 к обеим сторонам: \[ 8 \cos^2(10x) \sin^2(10x) = 2 \] ### Шаг 5: Делим на 8 Теперь делим обе стороны на 8: \[ \cos^2(10x) \sin^2(10x) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \] ### Шаг 6: Используем тождество \(\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)\) Мы можем выразить \(\cos^2(10x) \sin^2(10x)\) через \(\sin(20x)\): \[ \cos^2(10x) \sin^2(10x) = \frac{1}{4} \sin^2(20x) \] Таким образом, наше уравнение становится: \[ \frac{1}{4} \sin^2(20x) = \frac{1}{4} \] ### Шаг 7: Убираем множитель \(\frac{1}{4}\) Умножим обе стороны на 4: \[ \sin^2(20x) = 1 \] ### Шаг 8: Находим корни Это уравнение выполняется, когда: \[ \sin(20x) = 1 \quad \text{или} \quad \sin(20x) = -1 \] Таким образом, мы получаем: 1) \(20x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\) (где \(k\) — любое целое число) 2) \(20x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\) Решая для \(x\): 1) \(x = \frac{\pi}{40} + \frac{k\pi}{10}\) 2) \(x = \frac{3\pi}{40} + \frac{k\pi}{10}\) ### Ответ Таким образом, общее решение уравнения: \[ x = \frac{\pi}{40} + \frac{k\pi}{10}, \quad k \in \mathbb{Z} \quad \text{ и } \quad x = \frac{3\pi}{40} + \frac{k\pi}{10}, \quad k \in \mathbb{Z} \] Если что-то осталось непонятным, не стесняйтесь спрашивать!