Задача Nº9. Петя и Вася играют в игру. Изначально на доске написано число s. За один ход разрешается к написанному на доске числу прибавить 20 или умножить его на 25, старое число стереть и вместо него написать результат своих вычислений. Побеждает тот, после чьего хода на доске впервые окажется число 2025 или больше. Первым ходит петя

Давайте внимательно разберемся с этой задачей шаг за шагом. **Задача:** Петя и Вася играют в игру. Изначально на доске написано число \( s \). За один ход разрешается прибавить 20 к написанному на доске числу или умножить его на 25. Побеждает тот, кто сделает ход, после которого на доске будет число 2025 или больше. Первым ходит Петя. ### Шаг 1: Понимание условий игры Петя и Вася могут делать следующие действия: 1. Прибавить 20 к числу, записанному на доске. 2. Умножить число на 25. Цель игры — достичь 2025 или больше. ### Шаг 2: Анализ возможных действий Поскольку число \( s \) изначально нам не дано, мы можем рассмотреть, как разные начальные числа могут влиять на игру. На каждом ходе игрок может: - Увеличить текущее число на 20 - Умножить текущее число на 25 Теперь необходимо определить, как можно достичь 2025 или больше, начиная с разных значений \( s \). ### Шаг 3: Рассмотрим стратегические ходы 1. **Второй ход:** Если Петя прибавит 20, то на следующем ходе Вася тоже сможет сделать одно из двух, и игра будет продолжаться. 2. **Умножение:** Если кто-то умножит число на 25, оно может значительно увеличиться. ### Шаг 4: Оценка верхнего предела Чтобы понять, при каком начальном числе \( s \) Петя может гарантированно выиграть, давайте оценим несколько случаев. #### Пример 1: \( s = 1 \) 1. Петя (1): Умножает на 25 → \( 1 \times 25 = 25 \) 2. Вася (25): Умножает на 25 → \( 25 \times 25 = 625 \) 3. Петя (625): Умножает на 25 → \( 625 \times 25 = 15625 \) (Петя выигрывает) #### Пример 2: \( s = 2 \) 1. Петя (2): Умножает на 25 → \( 2 \times 25 = 50 \) 2. Вася (50): Умножает на 25 → \( 50 \times 25 = 1250 \) 3. Петя (1250): Умножает на 25 → \( 1250 \times 25 = 31250 \) (Петя выигрывает) И так далее. Можем рассуждать о том, как быстро число растет, и какие значения \( s \), начиная с небольших, дают преимущество. ### Условия победы Обобщим: - Петя всегда выигрывает, если может умножить число на 25. - Если начальное число \( s \) достаточно маленькое, чтобы Петя мог произвести максимальное количество умножений на 25, он всегда выиграет, прежде чем Вася доберется до 2025. ### Заключение Таким образом, в любой позиции, когда Петя начинает с небольшим числом и использует умножение первым, он может гарантированно выиграть. Это базовая стратегия, которая включает в себя внимание к темпу увеличения чисел. Если вы хотите рассмотреть конкретные числа, дайте знать, и мы исследуем это дальше!