Для решения задачи, давайте обозначим два натуральных числа как ( x ) и ( y ). Мы имеем два уравнения:
- ( x + y = 28 ) (сумма двух чисел)
- ( x^2 + y^2 = 394 ) (сумма квадратов этих чисел)
Теперь мы можем выразить одно из переменных через другое, используя первое уравнение. Например, выразим ( y ):
[
y = 28 - x
]
Теперь подставим ( y ) в второе уравнение:
[
x^2 + (28 - x)^2 = 394
]
Раскроем скобки:
[
x^2 + (28^2 - 56x + x^2) = 394
]
[
x^2 + 784 - 56x + x^2 = 394
]
Теперь объединим похожие члены:
[
2x^2 - 56x + 784 = 394
]
Переносим 394 в левую часть уравнения:
[
2x^2 - 56x + 390 = 0
]
Теперь упростим уравнение, разделив все члены на 2:
[
x^2 - 28x + 195 = 0
]
Теперь будем решать это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-28)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 195
]
[
D = 784 - 780 = 4
]
Так как дискриминант положительный, у нас будет два различных корня:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{28 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1}
]
[
x = \frac{28 \pm 2}{2}
]
Теперь найдем два значения для ( x ):
- ( x_1 = \frac{30}{2} = 15 )
- ( x_2 = \frac{26}{2} = 13 )
Теперь подставим найденные значения ( x ) в формулу для ( y ):
Если ( x = 15 ):
[
y = 28 - 15 = 13
]
Если ( x = 13 ):
[
y = 28 - 13 = 15
]
Таким образом, два числа, удовлетворяющие условиям задачи, это 15 и 13.
Ответ: Натуральные числа: 15 и 13.
