Для решения задачи начнем с обозначений:
- Пусть скорость первого бегуна равна ( v_1 ) (км/ч).
- Тогда скорость второго бегуна будет равна ( v_2 = v_1 + 5 ) (км/ч), поскольку она на 5 км/ч больше.
1. Определим время
Оба бегуна стартовали одновременно. Спустя 1 час (или 60 минут) первый бегун оставался на расстоянии 1 км от окончания первого круга, что значит, что он пробежал 1 км меньше полной длины круга. Полная длина круга равна ( L ). Таким образом, за 1 час первый бегун пробежал:
[
L - 1 \text{ км}
]
2. Время на круг для второго бегуна
В условии сказано, что второй бегун пробежал первый круг 15 минут назад. Поскольку он пробежал круг, то время, затраченное вторым бегуном на круг, составляет:
[
t_2 = \text{время первого бегуна на круг} = \frac{L}{v_2}
]
3. Связь между временем первого и второго бегунов
Зная, что второй бегун пробежал круг на 15 минут (или 0,25 часа) быстрее первого, можем записать:
[
t_1 - t_2 = 0.25,
]
где ( t_1 ) — время, затраченное первым бегуном на круг. Выразим его через скорость:
[
t_1 = \frac{L}{v_1}.
]
Теперь подставим ( t_2 ):
[
\frac{L}{v_1} - \frac{L}{v_1 + 5} = 0.25.
]
4. Преобразуем уравнение
Перемножим обе части уравнения на ( v_1(v_1 + 5) ) для устранения дробей:
[
L(v_1 + 5) - L v_1 = 0.25 v_1 (v_1 + 5).
]
Упрощаем:
[
5L = 0.25v_1^2 + 1.25v_1.
]
5. Выразим ( L )
Теперь выразим ( L ):
[
L = \frac{0.25v_1^2 + 1.25v_1}{5} = 0.05v_1^2 + 0.25v_1.
]
6. Подставим в условие
Обозначим ( L ) в уравнении ( L - 1 \text{ км} ):
[
\frac{L}{v_1} = 1 \text{ ч} \Rightarrow \text{перепишем: } L = v_1.
]
7. Зафиксируем уравнение
Подставим:
[
v_1 = 0.05v_1^2 + 0.25v_1 + 1,
]
что упрощается:
[
0 = 0.05v_1^2 - 0.75v_1 + 1.
]
Умножаем на 100:
[
0 = 5v_1^2 - 75v_1 + 100.
]
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = (-75)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 100 = 5625 - 2000 = 3625.
]
8. Находим корни
Корни уравнения:
[
v_1 = \frac{75 \pm \sqrt{3625}}{10}.
]
Находим ( \sqrt{3625} \approx 60.42 ), тогда,
[
v_1 \approx \frac{75 \pm 60.42}{10}.
]
Находим два значения:
[
v_{1,1} \approx \frac{135.42}{10} \approx 13.54 \text{ км/ч, }
]
[
v_{1,2} \approx \frac{14.58}{10} \approx 1.46 \text{ км/ч. }
]
Так как скорость не может быть отрицательной, берем ( v_1 \approx 13.54 \text{ км/ч} ).
Ответ: Скорость первого бегуна составляет примерно 13.54 км/ч.
