Давайте решим задачу шаг за шагом.
Условие задачи:
Найти минимальное натуральное число ( x ), которое заканчивается на девять, и если зачеркнуть девять и перед числом приписать 12, то новое число будет в три раза больше исходного числа ( x ).
Давайте разберем условие.
Пусть ( x ) – искомое число. Тогда мы можем записать его в виде:
[
x = 10k + 9
]
где ( k ) – это число, полученное от ( x ) при зачеркивании последней цифры (9).
Теперь, по условию задачи, если мы перед числом ( k ) приписываем 12, то мы получаем новое число:
[
12 \cdot 10^d + k
]
где ( d ) – это количество цифр в ( k ) (то есть длина числа ( k )). Теперь согласно условию,
[
12 \cdot 10^d + k = 3x
]
Подставим ( x ):
[
12 \cdot 10^d + k = 3(10k + 9)
]
Раскроем скобки:
[
12 \cdot 10^d + k = 30k + 27
]
Теперь перенесем все слагаемые с ( k ) в одну сторону:
[
12 \cdot 10^d - 27 = 30k - k
]
Упрощая, получим:
[
12 \cdot 10^d - 27 = 29k
]
Теперь выразим ( k ):
[
k = \frac{12 \cdot 10^d - 27}{29}
]
Чтобы ( k ) было натуральным числом, ( 12 \cdot 10^d - 27 ) должно делиться на 29. Теперь найдем наименьшее ( d ), чтобы это выполнялось.
Пробуем разные значения ( d ):
- Для ( d = 1 ):
[
k = \frac{12 \cdot 10^1 - 27}{29} = \frac{120 - 27}{29} = \frac{93}{29} \approx 3.21 \text{ (не натуральное)}
]
- Для ( d = 2 ):
[
k = \frac{12 \cdot 10^2 - 27}{29} = \frac{1200 - 27}{29} = \frac{1173}{29} = 40.5 \text{ (не натуральное)}
]
- Для ( d = 3 ):
[
k = \frac{12 \cdot 10^3 - 27}{29} = \frac{12000 - 27}{29} = \frac{11973}{29} = 413.55 \text{ (не натуральное)}
]
- Для ( d = 4 ):
[
k = \frac{12 \cdot 10^4 - 27}{29} = \frac{120000 - 27}{29} = \frac{119973}{29} = 4137 \text{ (натуральное)}
]
Теперь, имея ( k = 4137 ), можем найти ( x ):
[
x = 10k + 9 = 10 \cdot 4137 + 9 = 41370 + 9 = 41379
]
Проверяем условие: при зачеркивании 9 и приписывании 12:
- ( k = 4137 ), и приписав 12, получаем 124137.
Проверим, верно ли ( 124137 = 3 \cdot 41379 ).
[
3 \cdot 41379 = 124137 \text{ (верно)}
]
Таким образом, наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условию задачи:
[
\boxed{41379}
]
