В небольшом магазине работают два продавца - Антон и Игорь. Каждый из них может быть занят с клиентом с вероятностью 0,4. При этом они могут быть заняты одновременно с…

Чтобы решить задачу, давайте обозначим события:

• A: Антон занят с клиентом.
• I: Игорь занят с клиентом.

Согласно условиям, мы имеем:

• Вероятность того, что Антон занят: \(P(A) = 0.4\)
• Вероятность того, что Игорь занят: \(P(I) = 0.4\)
• Вероятность того, что оба продавца заняты одновременно: \(P(A \cap I) = 0.3\)

Нам нужно найти вероятность того, что оба продавца свободны. Обозначим событие «оба свободны» как \(S\). Чтобы оба продавца были свободны, это означает, что ни один из них не занят:

• Событие, что Антон свободен: \(S_A = \neg A\), где \(P(S_A) = 1 - P(A) = 1 - 0.4 = 0.6\)
• Событие, что Игорь свободен: \(S_I = \neg I\), где \(P(S_I) = 1 - P(I) = 1 - 0.4 = 0.6\)

Событие, что оба продавца свободны, можно записать как \(S = S_A \cap S_I\).

Теперь мы можем воспользоваться формулой полной вероятности:

\[ P(S) = P(S_A) \cdot P(S_I | S_A) \]

Здесь \(P(S_I | S_A)\) — это условная вероятность того, что Игорь свободен при условии, что Антон свободен. Мы можем найти её следующим образом:

С учетом, что вероятность обоих занятых у нас известна, мы можем воспользоваться свойством вероятностей:

\[ P(S_A \cup S_I) = 1 - P(A) - P(I) + P(A \cap I) \]

Однако, следует заметить, что \(P(S_A \cup S_I)\) — это вероятность того, что хотя бы один из них занят. Таким образом, вероятность, что оба свободны, будет:

\[ P(S) = 1 - P(A \cup I) \]

Теперь подставим известные значения:

\[ P(A \cup I) = P(A) + P(I) - P(A \cap I) = 0.4 + 0.4 - 0.3 = 0.5 \]

Следовательно, вероятность, что оба продавца свободны, составит:

\[ P(S) = 1 - P(A \cup I) = 1 - 0.5 = 0.5 \]

Таким образом, вероятность того, что оба продавца свободны, равна 0.5 или 50%.