Основание прямой призмы прямоугольный треугольник с гипотенузой 25 см и катетом 20 см. Меньшая боковая грань и основание призмы равновелики. Найдите площадь боковой 11 полной…
Основание прямой призмы прямоугольный треугольник с гипотенузой 25 см и катетом 20 см. Меньшая боковая грань и основание призмы равновелики. Найдите площадь боковой 11 полной поверхности призмы.
Чтобы найти площадь полной поверхности прямой призмы, основание которой является прямоугольный треугольник, нужно выполнить несколько шагов.
Шаг 1: Найдем размеры основания призмы
У нас есть прямоугольный треугольник с гипотенузой \( c = 25 \) см и одним катетом \( a = 20 \) см. Второй катет \( b \) можно найти с помощью теоремы Пифагора:
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
Подставим известные значения:
\[ 25^2 = 20^2 + b^2 \]
Это значит:
\[ 625 = 400 + b^2 \]
Теперь можно вычислить \( b^2 \):
\[ b^2 = 625 - 400 = 225 \]
Теперь найдём \( b \):
\[ b = \sqrt{225} = 15 \text{ см} \]
Таким образом, катеты нашего треугольника равны 20 см и 15 см.
Шаг 2: Найдем площадь основания призмы
Площадь \( S \) прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \]
Подставляя значения:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 15 = \frac{300}{2} = 150 \text{ см}^2 \]
Шаг 3: Найдем высоту призмы
По условию задачи, меньшая боковая грань призмы равновелика основанию призмы. Это значит, что высота \( h \) призмы равна площади основания \( S \):
\[ h = S = 150 \text{ см} \]
Шаг 4: Найдем площадь боковой поверхности призмы
Площадь боковой поверхности призмы (площадь боковых граней) состоит из трех прямоугольников:
- Две боковые грани, которые соответствуют катетам треугольника (20 см и 15 см).
- Одна боковая грань, которая соответствует гипотенузе (25 см).
Формула для площади боковой поверхности:
\[ S_{\text{бок}} = P_{\text{катеты}} \cdot h \]
Где \( P_{\text{катеты}} \) — это сумма периметра основания, то есть:
\[ P_{\text{катеты}} = a + b + c = 20 + 15 + 25 = 60 \text{ см} \]
Тогда, площадь боковой поверхности будет:
\[ S_{\text{бок}} = P_{\text{катеты}} \cdot h = 60 \cdot 150 = 9000 \text{ см}^2 \]
Шаг 5: Найдем полную площадь поверхности призмы
Площадь полной поверхности призмы \( S_{\text{пол}} \) складывается из площади боковой поверхности и двух площадей оснований:
\[ S_{\text{пол}} = S_{\text{бок}} + 2 \cdot S \]
Где \( S \) — площадь основания, которая составила 150 см²:
\[ S_{\text{пол}} = 9000 + 2 \cdot 150 = 9000 + 300 = 9300 \text{ см}^2 \]
Ответ:
Полная площадь поверхности призмы равна \( 9300 \) см².
