Чтобы найти площадь полной поверхности прямой призмы, основание которой является прямоугольный треугольник, нужно выполнить несколько шагов.
Шаг 1: Найдем размеры основания призмы
У нас есть прямоугольный треугольник с гипотенузой ( c = 25 ) см и одним катетом ( a = 20 ) см. Второй катет ( b ) можно найти с помощью теоремы Пифагора:
[
c^2 = a^2 + b^2
]
Подставим известные значения:
[
25^2 = 20^2 + b^2
]
Это значит:
[
625 = 400 + b^2
]
Теперь можно вычислить ( b^2 ):
[
b^2 = 625 - 400 = 225
]
Теперь найдём ( b ):
[
b = \sqrt{225} = 15 \text{ см}
]
Таким образом, катеты нашего треугольника равны 20 см и 15 см.
Шаг 2: Найдем площадь основания призмы
Площадь ( S ) прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b
]
Подставляя значения:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 15 = \frac{300}{2} = 150 \text{ см}^2
]
Шаг 3: Найдем высоту призмы
По условию задачи, меньшая боковая грань призмы равновелика основанию призмы. Это значит, что высота ( h ) призмы равна площади основания ( S ):
[
h = S = 150 \text{ см}
]
Шаг 4: Найдем площадь боковой поверхности призмы
Площадь боковой поверхности призмы (площадь боковых граней) состоит из трех прямоугольников:
- Две боковые грани, которые соответствуют катетам треугольника (20 см и 15 см).
- Одна боковая грань, которая соответствует гипотенузе (25 см).
Формула для площади боковой поверхности:
[
S_{\text{бок}} = P_{\text{катеты}} \cdot h
]
Где ( P_{\text{катеты}} ) — это сумма периметра основания, то есть:
[
P_{\text{катеты}} = a + b + c = 20 + 15 + 25 = 60 \text{ см}
]
Тогда, площадь боковой поверхности будет:
[
S_{\text{бок}} = P_{\text{катеты}} \cdot h = 60 \cdot 150 = 9000 \text{ см}^2
]
Шаг 5: Найдем полную площадь поверхности призмы
Площадь полной поверхности призмы ( S_{\text{пол}} ) складывается из площади боковой поверхности и двух площадей оснований:
[
S_{\text{пол}} = S_{\text{бок}} + 2 \cdot S
]
Где ( S ) — площадь основания, которая составила 150 см²:
[
S_{\text{пол}} = 9000 + 2 \cdot 150 = 9000 + 300 = 9300 \text{ см}^2
]
Ответ:
Полная площадь поверхности призмы равна ( 9300 ) см².
