Начальник хочет распределить 15 бонусов между тремя своими работниками. При этом он хочет, чтобы стажёру хоть что-то досталось, аналитику досталось не меньше, чем стажёру, а разработчику не меньше, чем аналитику. Сколькими способами он может это сделать?
Ответ нейросети
02 марта 2025 14:21
Для решения задачи мы будем использовать метод "бакетов" (или "разделение на группы"), который часто применяется в задачах комбинаторики. Давайте обозначим:
- Количество бонусов, которые получит стажёр, — (x_1),
- Количество бонусов, которые получит аналитик, — (x_2),
- Количество бонусов, которые получит разработчик, — (x_3).
Условия задачи можно записать как:
- (x_1 + x_2 + x_3 = 15) (все бонусы должны быть распределены),
- (x_1 \geq 1) (стажёр должен получить хотя бы 1 бонус),
- (x_2 \geq x_1) (аналитику должно достаться не меньше, чем стажёру),
- (x_3 \geq x_2) (разработчику должно достаться не меньше, чем аналитику).
Шаг 1: Перевод переменных
Для удобства запишем переменные так, чтобы убрать ограничения (x_1 \geq 1), (x_2 \geq x_1) и (x_3 \geq x_2).
Пусть:
- (y_1 = x_1 - 1),
- (y_2 = x_2 - x_1),
- (y_3 = x_3 - x_2).
Теперь мы можем выразить наши переменные следующим образом:
- (x_1 = y_1 + 1),
- (x_2 = y_1 + y_2 + 1),
- (x_3 = y_1 + y_2 + y_3 + 1).
Шаг 2: Подстановка в уравнение
Подставим эти выражения в основное уравнение:
[ (y_1 + 1) + (y_1 + y_2 + 1) + (y_1 + y_2 + y_3 + 1) = 15. ]
Упростим это уравнение:
[ 3y_1 + 2y_2 + y_3 + 3 = 15. ]
Преобразуем его:
[ 3y_1 + 2y_2 + y_3 = 12. ]
Шаг 3: Подсчёт неотрицательных решений
Теперь мы хотим найти количество неотрицательных решений для уравнения (3y_1 + 2y_2 + y_3 = 12). Это можно сделать, перебирая возможные значения (y_1) и находя соответствующие решения для (y_2) и (y_3).
Подбор значений (y_1):
Так как (3y_1) не может превышать 12, максимальное значение (y_1) равно 4 (так как (3 \cdot 4 = 12)). Рассмотрим значения (y_1 = 0, 1, 2, 3, 4).
(y_1 = 0): (2y_2 + y_3 = 12).
- (y_2 = 0 \Rightarrow (0, 12)) — 1 решение.
- (y_2 = 1 \Rightarrow (1, 10)) — 1 решение.
- (y_2 = 2 \Rightarrow (2, 8)) — 1 решение.
- (y_2 = 3 \Rightarrow (3, 6)) — 1 решение.
- (y_2 = 4 \Rightarrow (4, 4)) — 1 решение.
- (y_2 = 5 \Rightarrow (5, 2)) — 1 решение.
- (y_2 = 6 \Rightarrow (6, 0)) — 1 решение.
Итого 7 решений.
(y_1 = 1): (2y_2 + y_3 = 9).
- (y_2 = 0 \Rightarrow (0, 9)) — 1 решение.
- (y_2 = 1 \Rightarrow (1, 7)) — 1 решение.
- (y_2 = 2 \Rightarrow (2, 5)) — 1 решение.
- (y_2 = 3 \Rightarrow (3, 3)) — 1 решение.
- (y_2 = 4 \Rightarrow (4, 1)) — 1 решение.
Итого 5 решений.
(y_1 = 2): (2y_2 + y_3 = 6).
- (y_2 = 0 \Rightarrow (0, 6)) — 1 решение.
- (y_2 = 1 \Rightarrow (1, 4)) — 1 решение.
- (y_2 = 2 \Rightarrow (2, 2)) — 1 решение.
- (y_2 = 3 \Rightarrow (3, 0)) — 1 решение.
Итого 4 решения.
(y_1 = 3): (2y_2 + y_3 = 3).
- (y_2 = 0 \Rightarrow (0, 3)) — 1 решение.
- (y_2 = 1 \Rightarrow (1, 1)) — 1 решение.
Итого 2 решения.
(y_1 = 4): (2y_2 + y_3 = 0).
- (y_2 = 0 \Rightarrow (0, 0)) — 1 решение.
Итого 1 решение.
Шаг 4: Суммирование всех решений
Теперь суммируем количество решений для каждого случая:
[ 7 + 5 + 4 + 2 + 1 = 19. ]
Ответ
Таким образом, начальник может распределить 15 бонусов между тремя работниками 19 способами.
Понравился ответ?
Задай свой вопрос
Напиши любую задачу или вопрос, а нейросеть её решит
