Начальник хочет распределить 15 бонусов между тремя своими работниками. При этом он хочет, чтобы стажёру хоть что-то досталось, аналитику досталось не меньше, чем стажёру, а…

Для решения задачи мы будем использовать метод "бакетов" (или "разделение на группы"), который часто применяется в задачах комбинаторики. Давайте обозначим:

• Количество бонусов, которые получит стажёр, — \(x_1\),
• Количество бонусов, которые получит аналитик, — \(x_2\),
• Количество бонусов, которые получит разработчик, — \(x_3\).

Условия задачи можно записать как:

1. \(x_1 + x_2 + x_3 = 15\) (все бонусы должны быть распределены),
2. \(x_1 \geq 1\) (стажёр должен получить хотя бы 1 бонус),
3. \(x_2 \geq x_1\) (аналитику должно достаться не меньше, чем стажёру),
4. \(x_3 \geq x_2\) (разработчику должно достаться не меньше, чем аналитику).

Шаг 1: Перевод переменных

Для удобства запишем переменные так, чтобы убрать ограничения \(x_1 \geq 1\), \(x_2 \geq x_1\) и \(x_3 \geq x_2\).

Пусть:

• \(y_1 = x_1 - 1\),
• \(y_2 = x_2 - x_1\),
• \(y_3 = x_3 - x_2\).

Теперь мы можем выразить наши переменные следующим образом:

• \(x_1 = y_1 + 1\),
• \(x_2 = y_1 + y_2 + 1\),
• \(x_3 = y_1 + y_2 + y_3 + 1\).

Шаг 2: Подстановка в уравнение

Подставим эти выражения в основное уравнение:

\[ (y_1 + 1) + (y_1 + y_2 + 1) + (y_1 + y_2 + y_3 + 1) = 15. \]

Упростим это уравнение:

\[ 3y_1 + 2y_2 + y_3 + 3 = 15. \]

Преобразуем его:

\[ 3y_1 + 2y_2 + y_3 = 12. \]

Шаг 3: Подсчёт неотрицательных решений

Теперь мы хотим найти количество неотрицательных решений для уравнения \(3y_1 + 2y_2 + y_3 = 12\). Это можно сделать, перебирая возможные значения \(y_1\) и находя соответствующие решения для \(y_2\) и \(y_3\).

Подбор значений \(y_1\):

Так как \(3y_1\) не может превышать 12, максимальное значение \(y_1\) равно 4 (так как \(3 \cdot 4 = 12\)). Рассмотрим значения \(y_1 = 0, 1, 2, 3, 4\).

1. \(y_1 = 0\): \(2y_2 + y_3 = 12\).

   • \(y_2 = 0 \Rightarrow (0, 12)\) — 1 решение.
   • \(y_2 = 1 \Rightarrow (1, 10)\) — 1 решение.
   • \(y_2 = 2 \Rightarrow (2, 8)\) — 1 решение.
   • \(y_2 = 3 \Rightarrow (3, 6)\) — 1 решение.
   • \(y_2 = 4 \Rightarrow (4, 4)\) — 1 решение.
   • \(y_2 = 5 \Rightarrow (5, 2)\) — 1 решение.
   • \(y_2 = 6 \Rightarrow (6, 0)\) — 1 решение.

   Итого 7 решений.

2. \(y_1 = 1\): \(2y_2 + y_3 = 9\).

   • \(y_2 = 0 \Rightarrow (0, 9)\) — 1 решение.
   • \(y_2 = 1 \Rightarrow (1, 7)\) — 1 решение.
   • \(y_2 = 2 \Rightarrow (2, 5)\) — 1 решение.
   • \(y_2 = 3 \Rightarrow (3, 3)\) — 1 решение.
   • \(y_2 = 4 \Rightarrow (4, 1)\) — 1 решение.

   Итого 5 решений.

3. \(y_1 = 2\): \(2y_2 + y_3 = 6\).

   • \(y_2 = 0 \Rightarrow (0, 6)\) — 1 решение.
   • \(y_2 = 1 \Rightarrow (1, 4)\) — 1 решение.
   • \(y_2 = 2 \Rightarrow (2, 2)\) — 1 решение.
   • \(y_2 = 3 \Rightarrow (3, 0)\) — 1 решение.

   Итого 4 решения.

4. \(y_1 = 3\): \(2y_2 + y_3 = 3\).

   • \(y_2 = 0 \Rightarrow (0, 3)\) — 1 решение.
   • \(y_2 = 1 \Rightarrow (1, 1)\) — 1 решение.

   Итого 2 решения.

5. \(y_1 = 4\): \(2y_2 + y_3 = 0\).

   • \(y_2 = 0 \Rightarrow (0, 0)\) — 1 решение.

   Итого 1 решение.

Шаг 4: Суммирование всех решений

Теперь суммируем количество решений для каждого случая:

\[ 7 + 5 + 4 + 2 + 1 = 19. \]

Ответ

Таким образом, начальник может распределить 15 бонусов между тремя работниками 19 способами.