Для решения задачи о построении дерева вероятностей требуется понять, как работает процесс стрельбы стрелка. Давайте пошагово разберём ситуацию.
Определение случайного опыта:
- Стрелок стреляет по мишени.
- Если он попал в мишень, стрелять больше не будет (событие завершено).
- Если он промахнулся, то делает ещё один выстрел.
Построение дерева вероятностей:
Можно разбить все возможные действия стрелка на этапы:
- Первый выстрел:
- Вероятность попадания в мишень = ( p ) (например, 0,4 или 0,8).
- Вероятность промаха = ( 1 - p ).
Дерево вероятностей выглядит следующим образом:
Первый выстрел
/ \
Попал (p) Промах (1 - p)
| \
Конец Второй выстрел
/ \
Попал (p) Промах (1 - p)
| \
Конец Третий выстрел
/ \
Попал (p) Промах (1 - p)
| \
Конец Четвёртый выстрел и так далее...
- Вероятности:
Теперь определим вероятности на каждом этапе.
a) Вероятность попадания, если вероятность успеха ( p = 0.4 ):
- Вероятность того, что стрелок попал в первом выстреле: ( P_1 = 0.4 ).
- Вероятность того, что он промахнулся в первом выстреле, а попал во втором:
[
P_2 = (1 - 0.4) \cdot 0.4 = 0.6 \cdot 0.4 = 0.24.
]
- Вероятность промаха в обоих выстрелах и попадания в третьем:
[
P_3 = (1 - 0.4) \cdot (1 - 0.4) \cdot 0.4 = 0.6 \cdot 0.6 \cdot 0.4 = 0.144.
]
Общая вероятность попасть в мишень:
[
P_{\text{всего}} = P_1 + P_2 + P_3 + \ldots
]
Эта схема представляет собой бесконечную геометрическую прогрессию:
[
P_{\text{всего}} = 0.4 + 0.24 + 0.144 + \ldots
]
Сумма этой прогрессии может быть вычислена по формуле:
[
S = \frac{a}{1 - r}
]
где ( a = 0.4 ) - первый член, а ( r = 0.6 \cdot 0.4 = 0.24 ) - множитель.
Таким образом:
[
P_{\text{всего}} = \frac{0.4}{1 - 0.24} = \frac{0.4}{0.76} \approx 0.5263.
]
b) Вероятность попадания, если вероятность успеха ( p = 0.8 ):
- Используя ту же логику:
- ( P_1 = 0.8 ).
- ( P_2 = (1 - 0.8) \cdot 0.8 = 0.2 \cdot 0.8 = 0.16 ).
- ( P_3 = (1 - 0.8) \cdot (1 - 0.8) \cdot 0.8 = 0.2 \cdot 0.2 \cdot 0.8 = 0.032 ).
Общая вероятность попасть в мишень:
[
P_{\text{всего}} = 0.8 + 0.16 + 0.032 + \ldots
]
Сумма этой геометрической прогрессии:
[
S = \frac{0.8}{1 - 0.04} = \frac{0.8}{0.96} \approx 0.8333.
]
Таким образом, вероятность того, что стрелок попадёт в мишень, если вероятность попадания равна:
- ( p = 0.4 ): приблизительно ( 0.5263 ) или ( 52.63% );
- ( p = 0.8 ): приблизительно ( 0.8333 ) или ( 83.33% ).
