Стрелок в тире делает выстрел по мишени. Если он попал в мишень, то больше он не стреляет, а если промахнулся, то делает ещё один выстрел. Постройте дерево этого случайного опыта.…

Для решения задачи о построении дерева вероятностей требуется понять, как работает процесс стрельбы стрелка. Давайте пошагово разберём ситуацию.

1. Определение случайного опыта:

   • Стрелок стреляет по мишени.
   • Если он попал в мишень, стрелять больше не будет (событие завершено).
   • Если он промахнулся, то делает ещё один выстрел.

2. Построение дерева вероятностей: Можно разбить все возможные действия стрелка на этапы:

• Первый выстрел:
  • Вероятность попадания в мишень = \( p \) (например, 0,4 или 0,8).
  • Вероятность промаха = \( 1 - p \).

Дерево вероятностей выглядит следующим образом:

                    Первый выстрел
                   /               \
           Попал (p)            Промах (1 - p)
               |                     \
           Конец                   Второй выстрел
                                      /               \
                                Попал (p)            Промах (1 - p)
                                    |                     \
                                Конец                   Третий выстрел
                                                         /              \
                                                   Попал (p)          Промах (1 - p)
                                                       |                 \
                                                   Конец             Четвёртый выстрел и так далее...

3. Вероятности: Теперь определим вероятности на каждом этапе.

a) Вероятность попадания, если вероятность успеха \( p = 0.4 \):

• Вероятность того, что стрелок попал в первом выстреле: \( P_1 = 0.4 \).
• Вероятность того, что он промахнулся в первом выстреле, а попал во втором: \[ P_2 = (1 - 0.4) \cdot 0.4 = 0.6 \cdot 0.4 = 0.24. \]
• Вероятность промаха в обоих выстрелах и попадания в третьем: \[ P_3 = (1 - 0.4) \cdot (1 - 0.4) \cdot 0.4 = 0.6 \cdot 0.6 \cdot 0.4 = 0.144. \]

Общая вероятность попасть в мишень: \[ P_{\text{всего}} = P_1 + P_2 + P_3 + \ldots \] Эта схема представляет собой бесконечную геометрическую прогрессию: \[ P_{\text{всего}} = 0.4 + 0.24 + 0.144 + \ldots \] Сумма этой прогрессии может быть вычислена по формуле: \[ S = \frac{a}{1 - r} \] где \( a = 0.4 \) - первый член, а \( r = 0.6 \cdot 0.4 = 0.24 \) - множитель.

Таким образом: \[ P_{\text{всего}} = \frac{0.4}{1 - 0.24} = \frac{0.4}{0.76} \approx 0.5263. \]

b) Вероятность попадания, если вероятность успеха \( p = 0.8 \):

• Используя ту же логику:
  • \( P_1 = 0.8 \).
  • \( P_2 = (1 - 0.8) \cdot 0.8 = 0.2 \cdot 0.8 = 0.16 \).
  • \( P_3 = (1 - 0.8) \cdot (1 - 0.8) \cdot 0.8 = 0.2 \cdot 0.2 \cdot 0.8 = 0.032 \).

Общая вероятность попасть в мишень: \[ P_{\text{всего}} = 0.8 + 0.16 + 0.032 + \ldots \] Сумма этой геометрической прогрессии: \[ S = \frac{0.8}{1 - 0.04} = \frac{0.8}{0.96} \approx 0.8333. \]

Таким образом, вероятность того, что стрелок попадёт в мишень, если вероятность попадания равна:

• \( p = 0.4 \): приблизительно \( 0.5263 \) или \( 52.63\% \);
• \( p = 0.8 \): приблизительно \( 0.8333 \) или \( 83.33\% \).