С помощью графиков докажите, что уравнение |x| = 5 - 4x - x ^ 2 имеет два корня. Найдите меньший корень этого уравнения.
Для решения уравнения \(|x| = 5 - 4x - x^2\) с помощью графиков, давайте рассмотрим его более подробно.
- Разделим уравнение на два случая, поскольку \(|x|\) может принимать два значения: \(x\) (при \(x \geq 0\)) и \(-x\) (при \(x < 0\)).
Случай 1: \(x \geq 0\)
Здесь \(|x| = x\). Уравнение становится:
\[
x = 5 - 4x - x^2.
\]
Перепишем его в стандартной форме:
\[
x^2 + 5x - 5 = 0.
\]
Теперь найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
\[
D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 25 + 20 = 45.
\]
Так как \(D > 0\), у уравнения два различных корня. Вычислим их:
\[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{45}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm 3\sqrt{5}}{2}.
\]
Корни:
\[
x_1 = \frac{-5 + 3\sqrt{5}}{2}, \quad x_2 = \frac{-5 - 3\sqrt{5}}{2}.
\]
Случай 2: \(x < 0\)
Здесь \(|x| = -x\). Уравнение становится:
\[
-x = 5 - 4x - x^2.
\]
Перепишем его:
\[
-x^2 - 3x - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 3x + 5 = 0.
\]
В этом уравнении дискриминант:
\[
D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11.
\]
Поскольку \(D < 0\), у этого уравнения нет действительных корней.
- Определим корни из первого случая:
Теперь, из первого случая, нам необходимо проверить, какое из значений \(x_1\) и \(x_2\) соответствует условию \(x \geq 0\).
Значение \(x_1 = \frac{-5 + 3\sqrt{5}}{2}\). Для определения этого значения, найдем его численное значение. Поскольку \(\sqrt{5} \approx 2.236\), то: \[ x_1 \approx \frac{-5 + 3 \cdot 2.236}{2} = \frac{-5 + 6.708}{2} \approx \frac{1.708}{2} \approx 0.854. \]
Значение \(x_2 = \frac{-5 - 3\sqrt{5}}{2}\). \[ x_2 \approx \frac{-5 - 6.708}{2} \approx \frac{-11.708}{2} \approx -5.854 \text{ (это значение меньше 0)}. \]
Таким образом, нашими корнями являются:
- \(x_1 \approx 0.854\) (положительный корень),
- \(x_2 \approx -5.854\) (отрицательный корень, который мы не рассматриваем).
- Вывод: У уравнения \(|x| = 5 - 4x - x^2\) есть два корня, и среди них меньший является: \[ \frac{-5 - 3\sqrt{5}}{2} \approx -5.854. \]
Получаем, что меньший корень уравнения \(|x| = 5 - 4x - x^2\) равен \(-5.854\) (приблизительно).
