Дана арифметическая прогрессия a 1 = − 491 a 1 =−491 , d = 11 d=11 . Найди номер первого положительного члена прогрессии.
Чтобы найти номер первого положительного члена в заданной арифметической прогрессии, давайте вспомним формулу общего члена арифметической прогрессии:
\( a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \),
где:
- \( a_n \) — n-й член прогрессии,
- \( a_1 \) — первый член прогрессии,
- \( d \) — разность прогрессии,
- \( n \) — номер члена.
В данной задаче нам заданы:
- \( a_1 = -491 \)
- \( d = 11 \)
Мы ищем наименьшее \( n \), такое что \( a_n > 0 \). Подставим значения в формулу:
\( a_n = -491 + (n - 1) \cdot 11 \).
Теперь приравняем \( a_n \) к нулю, чтобы найти \( n \):
\[ -491 + (n - 1) \cdot 11 > 0. \]
Для удобства, сначала найдём, когда \( a_n = 0 \):
\[ -491 + (n - 1) \cdot 11 = 0. \]
Решим это уравнение:
- Переносим -491 в правую часть:
\[ (n - 1) \cdot 11 = 491. \]
- Делим обе стороны на 11:
\[ n - 1 = \frac{491}{11}. \]
- Считаем результат:
\[ n - 1 \approx 44.6363. \]
- Добавляем 1 на обе стороны:
\[ n \approx 45.6363. \]
Поскольку \( n \) — это номер члена прогрессии и должен быть целым числом, округляем в большую сторону до следующего целого числа, потому что нам нужен первый положительный член:
\[ n = 46. \]
Теперь найдем \( a_{46} \), чтобы проверить, действительно ли он положительный:
\[ a_{46} = -491 + (46 - 1) \cdot 11 = -491 + 45 \cdot 11 = -491 + 495 = 4. \]
Поскольку \( a_{46} = 4 \), это положительный член прогрессии.
Таким образом, номер первого положительного члена данной арифметической прогрессии — 46.
