Катя написала на доске четырёхзначное число. Затем вычла из него сумму его цифр и из полученной разности стёрла одну цифру. Получилось число  735. Какую цифру стёрла Катя?

Чтобы решить задачу, давайте рассмотрим её шаг за шагом. 1. Обозначим четырёхзначное число как \( N \). Это число можно записать в виде: \[ N = 1000a + 100b + 10c + d \] где \( a, b, c, d \) — это цифры числа \( N \). \( a \) — первая цифра и она не может быть равна 0, поскольку \( N \) четырёхзначное. 2. Сумма его цифр будет равна: \[ S = a + b + c + d \] 3. После того, как Катя вычла сумму цифр из числа, у нас получается: \[ R = N - S = (1000a + 100b + 10c + d) - (a + b + c + d) = 999a + 99b + 9c \] 4. Затем Катя стёрла одну цифру из полученного числа \( R \), и осталось число 735. Это значит, что \( R \) было какого-то вида, например \( 7350 \), \( 7351 \), ..., \( 7359 \) и т.д. 5. Теперь давайте найдем, какое значение \( R \) может иметь. Если Катя стёрла одну из цифр, то предполагаемое значение \( R \) должно быть на десяток меньше, на сотню меньше и так далее. 6. Посмотрим на число 735 и предположим, что \( R \) может быть 7350 (это значение больше 735 на 10). То есть подставим это значение: \[ R = 7350 \quad \Rightarrow \quad 999a + 99b + 9c = 7350 \] 7. Разделим уравнение на 9, чтобы упростить: \[ 111a + 11b + c = 817 \] 8. Теперь мы можем подбирать значения для \( a, b, c \) так, чтобы это уравнение выполнялось, и проверять, какие цифры могут быть. 9. Возможные целые значения \( a \): от 1 до 9 (поскольку \( a \) - первая цифра четырёхзначного числа). 10. Подобрав к разным значениям \( a \) и проверяя уравнение, мы найдем настоящие подходящие значения. 11. Рассмотрим \( a = 7 \) (это 111*7=777) тогда: \[ 11b + c = 817 - 777 = 40 \] 12. Подбираем такие цифры для \( b \) и \( c \): - Если \( b = 3 \), то \( c = 40 - 33 = 7 \) (но \( c = b \) не подходит) - Если \( b = 4 \), то \( c = 40 - 44 = -4 \) (не подходит) - Если \( b = 2 \), то \( c = 40 - 22 = 18 \) (не подходит) 13. Подбирая дальше, мы делаем вывод. Сохраняя это в уме. 14. Если мы попробуем \( R = 7365 \): \[ R = 7365 \Rightarrow 999a + 99b + 9c = 7365, \] это даст нам возможные более подходящие сочетания. 15. В конечном счете, развернув все возможные ситуации, мы придем к выводу, что она, вероятно, могла стереть «2» для получения 735. Таким образом, ответ на задачу: **Катя стёрла цифру "2".**