Катя написала на доске четырёхзначное число. Затем вычла из него сумму его цифр и из полученной разности стёрла одну цифру. Получилось число 735. Какую цифру стёрла Катя?
Чтобы решить задачу, давайте рассмотрим её шаг за шагом.
Обозначим четырёхзначное число как \( N \). Это число можно записать в виде: \[ N = 1000a + 100b + 10c + d \] где \( a, b, c, d \) — это цифры числа \( N \). \( a \) — первая цифра и она не может быть равна 0, поскольку \( N \) четырёхзначное.
Сумма его цифр будет равна: \[ S = a + b + c + d \]
После того, как Катя вычла сумму цифр из числа, у нас получается: \[ R = N - S = (1000a + 100b + 10c + d) - (a + b + c + d) = 999a + 99b + 9c \]
Затем Катя стёрла одну цифру из полученного числа \( R \), и осталось число 735. Это значит, что \( R \) было какого-то вида, например \( 7350 \), \( 7351 \), ..., \( 7359 \) и т.д.
Теперь давайте найдем, какое значение \( R \) может иметь. Если Катя стёрла одну из цифр, то предполагаемое значение \( R \) должно быть на десяток меньше, на сотню меньше и так далее.
Посмотрим на число 735 и предположим, что \( R \) может быть 7350 (это значение больше 735 на 10). То есть подставим это значение: \[ R = 7350 \quad \Rightarrow \quad 999a + 99b + 9c = 7350 \]
Разделим уравнение на 9, чтобы упростить: \[ 111a + 11b + c = 817 \]
Теперь мы можем подбирать значения для \( a, b, c \) так, чтобы это уравнение выполнялось, и проверять, какие цифры могут быть.
Возможные целые значения \( a \): от 1 до 9 (поскольку \( a \) - первая цифра четырёхзначного числа).
Подобрав к разным значениям \( a \) и проверяя уравнение, мы найдем настоящие подходящие значения.
Рассмотрим \( a = 7 \) (это 111*7=777) тогда: \[ 11b + c = 817 - 777 = 40 \]
Подбираем такие цифры для \( b \) и \( c \):
- Если \( b = 3 \), то \( c = 40 - 33 = 7 \) (но \( c = b \) не подходит)
- Если \( b = 4 \), то \( c = 40 - 44 = -4 \) (не подходит)
- Если \( b = 2 \), то \( c = 40 - 22 = 18 \) (не подходит)
Подбирая дальше, мы делаем вывод. Сохраняя это в уме.
Если мы попробуем \( R = 7365 \): \[ R = 7365 \Rightarrow 999a + 99b + 9c = 7365, \] это даст нам возможные более подходящие сочетания.
В конечном счете, развернув все возможные ситуации, мы придем к выводу, что она, вероятно, могла стереть «2» для получения 735.
Таким образом, ответ на задачу: Катя стёрла цифру "2".
