Парабола проходит через точки A(0; -4), B(-1; -11), C(4; 4). Найдите координаты ее вершины:

Чтобы найти координаты вершины параболы, проходящей через заданные точки A(0; -4), B(-1; -11) и C(4; 4), сначала нужно записать уравнение параболы в общем виде. Парабола может быть записана как:

\[ y = ax^2 + bx + c \]

где \( a \), \( b \) и \( c \) — коэффициенты, которые мы найдем, подставляя координаты точек.

Шаг 1: Составление системы уравнений

Подставим координаты каждой точки в уравнение параболы:

1. Для точки A(0; -4): \[-4 = a(0)^2 + b(0) + c \implies c = -4\]

2. Для точки B(-1; -11): \[-11 = a(-1)^2 + b(-1) + c\] Подставим \( c = -4 \): \[-11 = a(1) - b - 4\] \[ -11 + 4 = a - b \] \[ a - b = -7 \quad \text{(1)}\]

3. Для точки C(4; 4): \[4 = a(4)^2 + b(4) + c\] Подставим \( c = -4 \): \[4 = 16a + 4b - 4\] \[4 + 4 = 16a + 4b\] \[8 = 16a + 4b\] \[4a + b = 2 \quad \text{(2)}\]

Теперь у нас есть две линейные зависимости:

1. \( a - b = -7\) (1)
2. \( 4a + b = 2\) (2)

Шаг 2: Решение системы уравнений

Теперь решим эту систему уравнений. Сначала выразим \( b \) из уравнения (1):

\[ b = a + 7 \]

Теперь подставим найденное значение \( b \) в уравнение (2):

\[ 4a + (a + 7) = 2\] \[ 4a + a + 7 = 2\] \[ 5a + 7 = 2\] \[ 5a = 2 - 7\] \[ 5a = -5\] \[ a = -1 \]

Теперь подставим \( a \) обратно в уравнение для \( b \):

\[ b = -1 + 7 = 6 \]

Теперь мы нашли все коэффициенты:

• \( a = -1 \)
• \( b = 6 \)
• \( c = -4 \)

Шаг 3: Уравнение параболы

Теперь у нас есть уравнение параболы:

\[ y = -x^2 + 6x - 4 \]

Шаг 4: Нахождение координат вершины

Вершина параболы \( y = ax^2 + bx + c \) находится по формуле:

\[ x_v = -\frac{b}{2a} \]

Подставив наши значения \( a \) и \( b \):

\[ x_v = -\frac{6}{2(-1)} = \frac{6}{2} = 3 \]

Теперь подставим \( x_v \) обратно в уравнение параболы, чтобы найти \( y_v \):

\[ y_v = -3^2 + 6(3) - 4 \] \[ y_v = -9 + 18 - 4 \] \[ y_v = 5 \]

Ответ

Координаты вершины параболы: \( (3; 5) \).

Эти шаги позволят вам понять, как находить вершину параболы, проходящей через заданные точки.