Игрок бросает игральную кость до тех пор, пока не выпадет двойка. Найди вероятность того, что ему потребуется два или три броска.

Чтобы найти вероятность того, что игроку потребуется два или три броска игральной кости, чтобы выпала двойка, давайте разберемся с этой задачей пошагово.

Шаг 1: Определим вероятности

Игральная кость имеет 6 граней, следовательно, вероятность того, что при броске выпадет двойка, равна: \[ P(двойка) = \frac{1}{6} \] Также вероятность того, что не выпадет двойка (т.е., выпадет 1, 3, 4, 5 или 6) составляет: \[ P(не двойка) = \frac{5}{6} \]

Шаг 2: Рассмотрим вероятности для двух бросков

Чтобы двойка выпала на втором броске, на первом броске не должна выпасть двойка. Это означает, что сначала мы должны получить не двойку, а затем на втором броске — двойку. Вероятность этого события: \[ P(2\text{ броска}) = P(не двойка) \times P(двойка) = \left(\frac{5}{6}\right) \times \left(\frac{1}{6}\right) = \frac{5}{36} \]

Шаг 3: Рассмотрим вероятности для трех бросков

Чтобы двойка выпала на третьем броске, на первых двух бросках не должна выпасть двойка. Соответственно, вероятность этого события: \[ P(3\text{ броска}) = P(не двойка) \times P(не двойка) \times P(двойка) = \left(\frac{5}{6}\right) \times \left(\frac{5}{6}\right) \times \left(\frac{1}{6}\right) \] Произведём расчеты: \[ P(3\text{ броска}) = \left(\frac{5}{6}\right)^2 \times \left(\frac{1}{6}\right) = \frac{25}{36} \times \frac{1}{6} = \frac{25}{216} \]

Шаг 4: Сложим вероятности

Теперь, чтобы найти общую вероятность того, что игроку потребуется два или три броска, необходимо сложить вероятности из шагов 2 и 3: \[ P(2\text{ или } 3\text{ броска}) = P(2\text{ броска}) + P(3\text{ броска}) = \frac{5}{36} + \frac{25}{216} \] Чтобы сложить эти дроби, необходимо привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 36 и 216 равен 216.

Приведём \(\frac{5}{36}\) к этому знаменателю: \[ \frac{5}{36} = \frac{5 \times 6}{36 \times 6} = \frac{30}{216} \]

Теперь можно сложить дроби: \[ P(2\text{ или } 3\text{ броска}) = \frac{30}{216} + \frac{25}{216} = \frac{55}{216} \]

Ответ

Вероятность того, что игроку потребуется два или три броска, составляет: \[ \frac{55}{216} \]

Резюме

В этой задаче мы использовали основные правила вероятности. Сначала мы нашли вероятность получения двойки на определенных бросках, затем сложили соответствующие вероятности, чтобы получить искомый результат.