Виталий пригласил Глеба в гости, сказав, что живёт в десятом подъезде в квартире № 347, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Глеб обнаружил, что дом девятиэтажный. На каком этаже…

Чтобы определить, на каком этаже живет Виталий, давайте разберемся с квартирной нумерацией в девятиэтажном доме.

1. Определим количество квартир на этаж:
   Поскольку дом девятиэтажный, предположим, что на каждом этаже одинаковое количество квартир. Для этого нам нужно выяснить, как распределены квартиры по этажам.

2. Количество квартир в доме:
   Общий номер квартиры Виталия — 347. Это значит, что в доме есть как минимум 347 квартир.

3. Квартиры на этаж:
   Обозначим количество квартир на одном этаже как \( x \). Тогда можно записать следующее:

   • На 1-м этаже — квартиры 1 до \( x \)
   • На 2-м этаже — квартиры \( x + 1 \) до \( 2x \)
   • На 3-м этаже — квартиры \( 2x + 1 \) до \( 3x \)
   • И так далее до 9-го этажа, который будет иметь квартиры от \( 8x + 1 \) до \( 9x \).

4. Поиск \( x \):
   Чтобы найти, на каком этаже находится квартира № 347, мы должны выяснить, в каком диапазоне она попадает. Для этого поможем себе неравенствами:

   • Чтобы квартира 347 была на 9-м этаже, необходимо, чтобы \( 8x < 347 \leq 9x \).

   Запишем это как два неравенства:

   1. \( 9x \geq 347 \) ⇒ \( x \geq \frac{347}{9} \approx 38.56 \)
   2. \( 8x < 347 \) ⇒ \( x < \frac{347}{8} \approx 43.375 \)

   Это означает, что \( x \) может принимать значения целых чисел от 39 до 43.

5. Далее определим этаж для каждого возможного \( x \):

   • Если \( x = 39 \):
     • Этажи: 1-39, 40-78, 79-117, 118-156, 157-195, 196-234, 235-273, 274-312, 313-351
       • 347 попадает на 9-й этаж.
   • Если \( x = 40 \):
     • Этажи: 1-40, 41-80, 81-120, 121-160, 161-200, 201-240, 241-280, 281-320, 321-360
       • 347 попадает на 9-й этаж.
   • Если \( x = 41 \):
     • Этажи: 1-41, 42-81, 82-121, 122-161, 162-201, 202-241, 242-281, 282-321, 322-361
       • 347 попадает на 9-й этаж.
   • Если \( x = 42 \):
     • Этажи: 1-42, 43-82, 83-122, 123-162, 163-202, 203-242, 243-282, 283-322, 323-362
       • 347 попадает на 9-й этаж.

По всем подсчетам, в любом из случаев числа квартир на этажах от 39 до 43, квартира № 347 всегда будет находиться на 9-м этаже.

Ответ: Виталий живёт на 9-м этаже.