Давайте решим задачу пошагово.
Обозначим:
- ( v_1 ) - скорость первого велосипедиста (км/ч)
- ( v_2 ) - скорость второго велосипедиста (км/ч)
Согласно условию, скорость второго велосипедиста на 4 км/ч больше, чем скорость первого:
[
v_2 = v_1 + 4
]
Время, затраченное на преодоление пути, можно найти по формуле:
[
t = \frac{S}{v}
]
где ( S ) - расстояние (в данном случае 42 км), а ( v ) - скорость.
Теперь найдем время, затраченное каждым из велосипедистов.
Время первого велосипедиста:
[
t_1 = \frac{42}{v_1}
]
Время второго велосипедиста:
[
t_2 = \frac{42}{v_2} = \frac{42}{v_1 + 4}
]
Согласно условию, первый велосипедист ехал на 40 минут (или (\frac{2}{3}) часа) дольше, чем второй:
[
t_1 = t_2 + \frac{2}{3}
]
Подставим выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ):
[
\frac{42}{v_1} = \frac{42}{v_1 + 4} + \frac{2}{3}
]
Теперь умножим обе стороны уравнения на ( 3v_1(v_1 + 4) ) (это поможет избавиться от дробей):
[
3v_1(v_1 + 4) \cdot \frac{42}{v_1} = 3v_1(v_1 + 4) \cdot \frac{42}{v_1 + 4} + 3v_1(v_1 + 4) \cdot \frac{2}{3}
]
Упрощаем уравнение:
[
126(v_1 + 4) = 126v_1 + 2v_1(v_1 + 4)
]
[
126v_1 + 504 = 126v_1 + 2v_1^2 + 8v_1
]
Теперь уберем ( 126v_1 ) с обеих сторон:
[
504 = 2v_1^2 + 8v_1
]
Перепишем уравнение в стандартном виде:
[
2v_1^2 + 8v_1 - 504 = 0
]
Разделим все на 2 для упрощения:
[
v_1^2 + 4v_1 - 252 = 0
]
Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-252) = 16 + 1008 = 1024
]
Теперь найдем корни уравнения по формуле:
[
v_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{1024}}{2 \cdot 1}
]
[
v_1 = \frac{-4 \pm 32}{2}
]
Вычислим два корня:
- ( v_1 = \frac{28}{2} = 14 ) (это положительная скорость)
- ( v_1 = \frac{-36}{2} = -18 ) (это отрицательная скорость, не подойдёт)
Таким образом, ( v_1 = 14 ) км/ч.
Теперь найдем скорость второго велосипедиста:
[
v_2 = v_1 + 4 = 14 + 4 = 18 \text{ км/ч}
]
Ответ:
Скорость второго велосипедиста составляет 18 км/ч.
