Давайте разберем каждую из предложенных фраз и выделим нарушения норм управления. После этого я дополню предложение.
Поехать вопреки непогоде:
- Здесь всё правильно: "ехать вопреки" — предлог правильно употребляется с данным словом. Норм управления не нарушены.
Заведующий библиотеки:
- Неправильно: "заведующий библиотекой" — существительное в родительном падеже требует окончания "ей". Здесь мы имеем нарушение норм управления.
Соскучился за тобой:
- Неправильно: правильный вариант — "соскучился по тебе". Слово "соскучиться" требует предлога "по". Это также нарушение норм управления.
Рецензия на статью:
- Здесь всё правильно: "рецензия на" — словосочетание употребляется корректно и нормы управления соблюдены.
Теперь перейдём к дополнению предложения.
Мать беспокоилась:
Здесь можно всевозможные варианты дополнений:
- "Мать беспокоилась за здоровье дочери."
- "Мать беспокоилась о результате экзаменов."
- "Мать беспокоилась по поводу моей учебы."
Каждый из этих вариантов соответствует нормам языка. Вы можете выбрать тот, который вам больше нравится, или предложить свой!