Стороны оснований правильной усеченной четырехугольной пирамиды равны 2 м и 8 м. Боковое ребро равно 5 м. Найдите площадь полной поверхности и высоту пирамиды.

Давайте решим данную задачу шаг за шагом. У нас есть усеченная четырехугольная пирамида, где стороны оснований равны 2 м и 8 м, а боковое ребро равно 5 м.

Шаг 1: Определение параметров

У нас есть:

• Верхнее основание (меньшая сторона) \( a = 2 \) м
• Нижнее основание (большая сторона) \( b = 8 \) м
• Боковое ребро (длина боковой грани) \( l = 5 \) м

Шаг 2: Рассмотрение высоты

Для нахождения высоты усеченной пирамиды (\( h \)), воспользуемся формулой, которая связывает боковое ребро, высоту и разность половин оснований:

1. Находим разность половин оснований: \[ \Delta = \frac{b - a}{2} = \frac{8 - 2}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ м} \]

2. Используем теорему Пифагора для нахождения высоты: \[ l^2 = h^2 + \Delta^2 \] Подставляем известные значения: \[ 5^2 = h^2 + 3^2 \] \[ 25 = h^2 + 9 \] \[ h^2 = 25 - 9 = 16 \] \[ h = \sqrt{16} = 4 \text{ м} \]

Шаг 3: Площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности усеченной пирамиды состоит из площадей верхнего и нижнего оснований, а также боковых поверхностей.

1. Площадь оснований:

   • Площадь верхнего основания: \( S_a = a^2 = 2^2 = 4 \) м²
   • Площадь нижнего основания: \( S_b = b^2 = 8^2 = 64 \) м²

2. Площадь боковых поверхностей: Для нахождения площади боковых поверхностей усеченной пирамиды понадобится периметр оснований и высота боковой грани (которая равна высоте, найденной ранее):

   • Периметры оснований: \[ P_a = 4a = 4 \times 2 = 8 \text{ м} \] \[ P_b = 4b = 4 \times 8 = 32 \text{ м} \]

   • Площадь боковых поверхностей: Формула для площади боковых поверхностей: \[ S_{бок} = \frac{(P_a + P_b)}{2} \times l \] Подставляем значения: \[ S_{бок} = \frac{(8 + 32)}{2} \times 5 = \frac{40}{2} \times 5 = 20 \times 5 = 100 \text{ м²} \]

3. Общая площадь полной поверхности: \[ S_{пол} = S_a + S_b + S_{бок} \] \[ S_{пол} = 4 + 64 + 100 = 168 \text{ м²} \]

Итоговые результаты

Высота пирамиды: \( h = 4 \) м
Площадь полной поверхности: \( S_{пол} = 168 \) м²

Таким образом, высота усеченной пирамиды составляет 4 метра, а площадь полной поверхности равна 168 квадратных метров.