Реши задачу

Для решения задачи нужно найти значение производной функции \( f(x) \) в точке \( x_0 \), что соответствует угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

Давайте пошагово разберем задачу:

1. Определение производной:

   • Производная функции в точке \( x_0 \) численно равна угловому коэффициенту (наклону) касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

2. Анализ графика:

   • На графике показана точка \( x_0 \) и касательная в этой точке. Нужно определить угол наклона этой касательной.
   • Чтобы найти угловой коэффициент, можем использовать формулу: \[ k = \tan(\theta) \] где \( \theta \) — угол между касательной и положительным направлением оси абсцисс.

3. Угловой коэффициент:

   • На графике видно, что касательная наклонена вниз. Это значит, что угол острый и \( k < 0 \).

4. Расчет:

   • На графике видно, что касательная проходит через точки с координатами \( (0, 1) \) и \( (9, -5) \).
   • Используем формулу для нахождения углового коэффициента прямой, проходящей через две точки \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\): \[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]
   • Подставим значения: \( x_1 = 0, y_1 = 1, x_2 = 9, y_2 = -5 \). \[ k = \frac{-5 - 1}{9 - 0} = \frac{-6}{9} = -0.67 \]

5. Вывод:

   • Значение производной функции \( f(x) \) в точке \( x_0 \) равно приблизительно \(-0.67\).

Таким образом, \( f'(x_0) \approx -0.67 \).