Стрелок стреляет в тире по восьми одинаковым мишеням. Вероятность попасть к каждую мишень при каждом выстреле одна и та же. чтобы сбить все восемь мишеней, стрелку понадобилось 11 выстрелов. Какова вероятность того, что первыми пятью выстрелами стрелок сбил меньше четырех мишеней?

Для решения этой задачи будем использовать распределение вероятностей. В данной ситуации стрелок делает несколько независимых выстрелов по мишеням, при этом вероятность попадания в мишень остается постоянной. ### Шаг 1: Определяем вероятность попадания Предположим, что вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна \(p\) (это значение нам пока нужно будет найти!). Стрелок делает всего 11 выстрелов и сбивает все 8 мишеней. Поскольку мы не знаем конкретную вероятность \(p\), но знаем, что ему требуется 11 выстрелов, мы можем рассмотреть это как задачу о распределении Бернулли. ### Шаг 2: Используем биномиальное распределение Для первых пяти выстрелов нам нужно определить вероятность того, что стрелок сбил меньше 4 мишеней. Здесь мы можем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть фиксированное количество испытаний (выстрелов), фиксированное количество успешных исходов (попаданий), и каждое испытание имеет независимую вероятность успеха. Биномиальное распределение задается формулой: \[ P(X = k) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k} \] где: - \(C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) — биномиальный коэффициент, - \(n\) — общее количество выстрелов, - \(k\) — количество попаданий, - \(p\) — вероятность попасть в мишень, - \(1-p\) — вероятность промаха. ### Шаг 3: Находим вероятность сбить меньше 4 мишеней Нам нужно посчитать вероятность сбить 0, 1, 2 или 3 мишени из 5 выстрелов. Это значит, что мы должны сложить вероятности для \(k = 0, 1, 2, 3\): \[ P(X < 4) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) \] Мы можем подставить значение \(n = 5\) и посчитать каждое из значений. ### Шаг 4: Попадания в мишени Теперь, чтобы рассчитать, какая вероятность, предполагая, что стрелок сбивает 8 мишеней в 11 выстрелах, нужно воспользоваться свойством распределения. Попробуем оценить, что \(p\) может быть в нашем случае: например, можно попробовать \(p = \frac{8}{11}\), так как в среднем на 11 выстрелов он сбивает 8 раз. ### Шаг 5: Подсчет Применим вероятность \(p = 0.727\) к формуле биномиального распределения: 1. \(P(X = 0)\): \[ P(X = 0) = C(5, 0) (0.727)^0 (0.273)^5 \approx 0.000143 \] 2. \(P(X = 1)\): \[ P(X = 1) = C(5, 1) (0.727)^1 (0.273)^4 \approx 0.001449 \] 3. \(P(X = 2)\): \[ P(X = 2) = C(5, 2) (0.727)^2 (0.273)^3 \approx 0.007421 \] 4. \(P(X = 3)\): \[ P(X = 3) = C(5, 3) (0.727)^3 (0.273)^2 \approx 0.024565 \] ### Шаг 6: Суммируем Теперь суммируем все полученные вероятности: \[ P(X < 4) \approx 0.000143 + 0.001449 + 0.007421 + 0.024565 \approx 0.033578 \] ### Итог Таким образом, вероятность того, что стрелок сбил менее 4 мишеней первыми пятью выстрелами, составляет приблизительно 0.0336 или 3.36%.