Четверо друзей сели на автобус, в котором всего три свободных места. Стоять в автобусе нельзя, поэтому кому-то придется сесть на чьи-то коленки. Сколько у друзей есть способов расположиться в автобусе, заняв все свободные места?

Давайте разберем задачу шаг за шагом. 1. **Определение ситуации:** У нас есть 4 друзей и 3 свободных места в автобусе. Один из друзей будет сидеть на коленках другого, поскольку нельзя стоять. 2. **Выбор того, кто будет сидеть на коленках:** Мы можем выбрать любого из 4 друзей, кто будет сидеть на коленках. Поэтому у нас есть 4 варианта выбора. 3. **После выбора:** После того, как мы выбрали одного из друзей для сидения на коленках, у нас остаются 3 других друга, которые должны занять 2 свободных места в автобусе. Тут мы должны выбрать 2 из оставшихся 3 друзей, которые займут свободные места. Количество способов выбрать 2 друга из 3, можно найти с помощью комбинаторики. Используем формулу сочетаний: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] где \( n \) — общее количество, \( k \) — количество выбираемых. В нашем случае: \[ C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 1} = 3 \] 4. **Учет перестановок:** Теперь нам нужно учесть, что 2 выбранных друга могут занять 2 свободных места в любом порядке. То есть, существует \( 2! \) (факториал двух) различных способов расположить этих 2 друзей на местах: \[ 2! = 2 \times 1 = 2 \] 5. **Общее количество способов:** Теперь можем посчитать общее количество способов расположения друзей в автобусе: - 4 способа выбрать, кто будет сидеть на коленках, - 3 способа выбрать 2 друга из оставшихся, - 2 способа расположить этих двух друга на местах. Умножим все количество способов: \[ 4 \times 3 \times 2 = 24 \] Итак, у друзей есть **24 способа расположиться в автобусе**, заняв все свободные места.