Найдите длину вектора |AB| если A(3;8;-1);B(-4;0;2)

Чтобы найти длину вектора \( |AB| \), сначала нужно понять, как определить длину вектора в многомерном пространстве. В этой задаче у нас есть точки \( A(3, 8, -1) \) и \( B(-4, 0, 2) \).

Шаг 1: Определение вектора \( AB \)

Вектор \( AB \) можно найти, вычитая координаты точки \( A \) из координат точки \( B \):

\[ AB = B - A = (-4 - 3, 0 - 8, 2 - (-1)) \]

Шаг 2: Вычисляем компоненты вектора \( AB \)

Теперь проведем вычитания для каждой компоненты:

• Первая компонента: \( -4 - 3 = -7 \)
• Вторая компонента: \( 0 - 8 = -8 \)
• Третья компонента: \( 2 - (-1) = 2 + 1 = 3 \)

Таким образом, вектор \( AB \) можно записать как:

\[ AB = (-7, -8, 3) \]

Шаг 3: Формула для длины вектора

Длина (или норма) вектора в трехмерном пространстве определяется по формуле:

\[ |AB| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]

где \( x \), \( y \) и \( z \) — это компоненты вектора. В нашем случае:

• \( x = -7 \)
• \( y = -8 \)
• \( z = 3 \)

Шаг 4: Подставляем данные в формулу

Теперь подставим значения компонентов в формулу для длины вектора:

\[ |AB| = \sqrt{(-7)^2 + (-8)^2 + 3^2} \]

Шаг 5: Вычисляем

Посчитаем каждую часть:

• \( (-7)^2 = 49 \)
• \( (-8)^2 = 64 \)
• \( 3^2 = 9 \)

Теперь найдем сумму:

\[ |AB| = \sqrt{49 + 64 + 9} = \sqrt{122} \]

Шаг 6: Выводим окончательный ответ

Теперь, чтобы найти длину \( |AB| \), вычислим \( \sqrt{122} \):

\[ |AB| \approx 11.04 \]

Таким образом, длина вектора \( |AB| \) приблизительно равна \( 11.04 \).