Чтобы найти длину вектора ( |AB| ), сначала нужно понять, как определить длину вектора в многомерном пространстве. В этой задаче у нас есть точки ( A(3, 8, -1) ) и ( B(-4, 0, 2) ).
Шаг 1: Определение вектора ( AB )
Вектор ( AB ) можно найти, вычитая координаты точки ( A ) из координат точки ( B ):
[
AB = B - A = (-4 - 3, 0 - 8, 2 - (-1))
]
Шаг 2: Вычисляем компоненты вектора ( AB )
Теперь проведем вычитания для каждой компоненты:
- Первая компонента: ( -4 - 3 = -7 )
- Вторая компонента: ( 0 - 8 = -8 )
- Третья компонента: ( 2 - (-1) = 2 + 1 = 3 )
Таким образом, вектор ( AB ) можно записать как:
[
AB = (-7, -8, 3)
]
Шаг 3: Формула для длины вектора
Длина (или норма) вектора в трехмерном пространстве определяется по формуле:
[
|AB| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}
]
где ( x ), ( y ) и ( z ) — это компоненты вектора. В нашем случае:
- ( x = -7 )
- ( y = -8 )
- ( z = 3 )
Шаг 4: Подставляем данные в формулу
Теперь подставим значения компонентов в формулу для длины вектора:
[
|AB| = \sqrt{(-7)^2 + (-8)^2 + 3^2}
]
Шаг 5: Вычисляем
Посчитаем каждую часть:
- ( (-7)^2 = 49 )
- ( (-8)^2 = 64 )
- ( 3^2 = 9 )
Теперь найдем сумму:
[
|AB| = \sqrt{49 + 64 + 9} = \sqrt{122}
]
Шаг 6: Выводим окончательный ответ
Теперь, чтобы найти длину ( |AB| ), вычислим ( \sqrt{122} ):
[
|AB| \approx 11.04
]
Таким образом, длина вектора ( |AB| ) приблизительно равна ( 11.04 ).
