Для функции f(x) = sin² - cos² найдите первообразную у = F(x), которая принимает значение F(п/2) = 4,5.
Решим задачу, связанную с нахождением первообразной для функции \( f(x) = \sin^2(x) - \cos^2(x) \) и условиями \( F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 4.5 \).
Шаг 1: Определим первообразную функции
Для нахождения первообразной функции \( f(x) \), мы сначала можем воспользоваться тригонометрическими преобразованиями:
\[ f(x) = \sin^2(x) - \cos^2(x) \]
Мы знаем, что \( \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \) из основной тригонометрической тождества. Подставив это в уравнение, мы получим:
\[ f(x) = \sin^2(x) - \cos^2(x) = 1 - \cos^2(x) - \cos^2(x) = 1 - 2\cos^2(x) \]
Теперь заметим, что \( \cos^2(x) \) может быть переписано также как \( \frac{1 + \cos(2x)}{2} \):
\[ \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \]
Следовательно, можно выразить \( f(x) \) так:
\[ f(x) = 1 - 2\left(\frac{1 + \cos(2x)}{2}\right) = 1 - (1 + \cos(2x)) = -\cos(2x) \]
Шаг 2: Найдем первообразную
Теперь можем найти первообразную \( F(x) \):
\[ F(x) = \int f(x) \, dx = \int -\cos(2x) \, dx \]
Для этого используем замену переменной:
\[ F(x) = -\frac{1}{2}\sin(2x) + C \]
где \( C \) — произвольная константа интегрирования.
Шаг 3: Условие для нахождения константы C
Теперь используем данное условие \( F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 4.5 \):
- Подставим \( x = \frac{\pi}{2} \) в выражение для \( F(x) \):
\[ F\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) + C = -\frac{1}{2}\sin(\pi) + C \]
- Зная, что \( \sin(\pi) = 0 \):
\[ F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 + C = C \]
- У нас есть условие \( C = 4.5 \). Следовательно:
\[ F(x) = -\frac{1}{2}\sin(2x) + 4.5 \]
Ответ
Таким образом, первообразная функции \( f(x) = \sin^2(x) - \cos^2(x) \) с условием \( F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 4.5 \) имеет вид:
\[ F(x) = -\frac{1}{2}\sin(2x) + 4.5 \]
