Решим задачу, связанную с нахождением первообразной для функции ( f(x) = \sin^2(x) - \cos^2(x) ) и условиями ( F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 4.5 ).
Шаг 1: Определим первообразную функции
Для нахождения первообразной функции ( f(x) ), мы сначала можем воспользоваться тригонометрическими преобразованиями:
[
f(x) = \sin^2(x) - \cos^2(x)
]
Мы знаем, что ( \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) ) из основной тригонометрической тождества. Подставив это в уравнение, мы получим:
[
f(x) = \sin^2(x) - \cos^2(x) = 1 - \cos^2(x) - \cos^2(x) = 1 - 2\cos^2(x)
]
Теперь заметим, что ( \cos^2(x) ) может быть переписано также как ( \frac{1 + \cos(2x)}{2} ):
[
\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}
]
Следовательно, можно выразить ( f(x) ) так:
[
f(x) = 1 - 2\left(\frac{1 + \cos(2x)}{2}\right) = 1 - (1 + \cos(2x)) = -\cos(2x)
]
Шаг 2: Найдем первообразную
Теперь можем найти первообразную ( F(x) ):
[
F(x) = \int f(x) , dx = \int -\cos(2x) , dx
]
Для этого используем замену переменной:
[
F(x) = -\frac{1}{2}\sin(2x) + C
]
где ( C ) — произвольная константа интегрирования.
Шаг 3: Условие для нахождения константы C
Теперь используем данное условие ( F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 4.5 ):
- Подставим ( x = \frac{\pi}{2} ) в выражение для ( F(x) ):
[
F\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) + C = -\frac{1}{2}\sin(\pi) + C
]
- Зная, что ( \sin(\pi) = 0 ):
[
F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 + C = C
]
- У нас есть условие ( C = 4.5 ). Следовательно:
[
F(x) = -\frac{1}{2}\sin(2x) + 4.5
]
Ответ
Таким образом, первообразная функции ( f(x) = \sin^2(x) - \cos^2(x) ) с условием ( F\left(\frac{\pi}{2}\right) = 4.5 ) имеет вид:
[
F(x) = -\frac{1}{2}\sin(2x) + 4.5
]
