Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Для решения этой задачи, давайте представим зависимость поступления в бюджет от ставки налога в виде квадратичной функции. Обозначим ставку налога как \( x \) (в процентах), а поступления в бюджет как \( f(x) \) (в миллиардах фантиков).
Шаг 1: Запись известных данных
Из условия нам известны следующие данные:
- \( f(10) = 1.3 \) млрд фантиков
- \( f(33) = 1.3 \) млрд фантиков
- \( f(27) = 1.6 \) млрд фантиков
Шаг 2: Запись квадратичной функции
Мы можем записать квадратичную функцию в стандартной форме:
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]
где \( a \), \( b \) и \( c \) — это некоторые коэффициенты, которые нам нужно определить.
Шаг 3: Составление системы уравнений
Мы знаем значения функции в трех точках, поэтому можем составить систему уравнений:
- \( f(10) = 100a + 10b + c = 1.3 \) (уравнение 1)
- \( f(33) = 1089a + 33b + c = 1.3 \) (уравнение 2)
- \( f(27) = 729a + 27b + c = 1.6 \) (уравнение 3)
Теперь у нас есть три уравнения и три неизвестных.
Шаг 4: Решение системы уравнений
Сначала выразим \( c \) из уравнения 1:
\[ c = 1.3 - 100a - 10b \]
Теперь подставим \( c \) в остальные два уравнения.
Подставляем в уравнение 2:
\[ 1089a + 33b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.3 \] \[ 1089a + 33b - 100a - 10b = 0 \] \[ 989a + 23b = 0 \quad (уравнение 4) \]
Подставляем в уравнение 3:
\[ 729a + 27b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.6 \] \[ 729a + 27b - 100a - 10b = 0.3 \] \[ 629a + 17b = 0.3 \quad (уравнение 5) \]
Теперь у нас есть два уравнения (4) и (5):
- \( 989a + 23b = 0 \)
- \( 629a + 17b = 0.3 \)
Шаг 5: Избавляемся от \( b \)
Из уравнения 4 выразим \( b \):
\[ b = -\frac{989}{23}a \]
Подставим \( b \) в уравнение 5:
\[ 629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0.3 \] \[ 629a - \frac{16813}{23}a = 0.3 \]
Умножим все на 23, чтобы избавиться от дробей:
\[ 14467a - 16813a = 6.9 \] \[ -2346a = 6.9 \] \[ a = -\frac{6.9}{2346} \approx -0.002941 \]
Теперь подставим \( a \) назад для нахождения \( b \):
\[ b = -\frac{989}{23} \left(-\frac{6.9}{2346}\right) \approx 0.184 \]
И теперь найдем \( c \):
\[ c = 1.3 - 100 \times -0.002941 - 10 \times 0.184 \approx 0.26 \]
Шаг 6: Запись функции
Теперь мы пришли к нашей квадратичной функции:
\[ f(x) = -0.002941x^2 + 0.184x + 0.26 \]
Шаг 7: Находим максимум функции
Максимум квадратичной функции \( f(x) = ax^2 + bx + c \) достигается в точке:
\[ x_{max} = -\frac{b}{2a} \]
Подставляем наши значения \( a \) и \( b \):
\[ x_{max} = -\frac{0.184}{2 \times -0.002941} \approx 31.28 \]
Ответ
Таким образом, максимальная ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства, составляет примерно 31.3%.
