Задание 2. Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на…
Задание 2. Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Для решения данной задачи мы будем использовать свойства квадратичной функции и информацию, которую нам предоставили. Начнем с того, что мы имеем три точки, описывающие зависимость налоговых поступлений от ставки налога. Предположим, что наша зависимость имеет вид:
\[ P(x) = ax^2 + bx + c, \]
где \( P(x) \) — налоговые поступления в миллиардах фантиков, а \( x \) — ставка налога в процентах.
Исходя из условий задачи, у нас есть следующая информация:
- При \( x = 10 \) (налоговая ставка 10%) \( P(10) = 1.3 \).
- При \( x = 33 \) (налоговая ставка 33%) \( P(33) = 1.3 \).
- При \( x = 27 \) (налоговая ставка 27%) \( P(27) = 1.6 \).
Теперь мы можем записать систему уравнений на основе этих трех условий:
- \( 100a + 10b + c = 1.3 \) (1)
- \( 1089a + 33b + c = 1.3 \) (2)
- \( 729a + 27b + c = 1.6 \) (3)
Теперь мы можем решить эту систему уравнений.
Шаг 1: Устранение c
Сначала выразим \( c \) из уравнения (1):
\[ c = 1.3 - 100a - 10b \]
Теперь подставим это значение в уравнения (2) и (3).
Шаг 2: Подстановка в уравнение (2)
Подставим \( c \) в уравнение (2):
\[ 1089a + 33b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.3 \]
Упростим:
\[ 1089a + 33b - 100a - 10b = 0 \\ (1089 - 100)a + (33 - 10)b = 0 \\ 989a + 23b = 0 \quad (4) \]
Шаг 3: Подстановка в уравнение (3)
Теперь подставим \( c \) в уравнение (3):
\[ 729a + 27b + (1.3 - 100a - 10b) = 1.6 \]
Упростим:
\[ 729a + 27b - 100a - 10b = 0 \\ (729 - 100)a + (27 - 10)b = 0 \\ 629a + 17b = 0 \quad (5) \]
Шаг 4: Решение системы (4) и (5)
Теперь у нас есть две линии (4) и (5):
- \( 989a + 23b = 0 \)
- \( 629a + 17b = 0 \)
Из первой линии выразим \( b \):
\[ b = -\frac{989}{23}a \]
Теперь подставим это значение во вторую линию:
\[ 629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0 \]
Умножим на 23 для избавления от дробей:
\[ 629 \cdot 23a - 17 \cdot 989a = 0 \]
Решая это уравнение, мы можем найти значение \( a \). Затем, имея значение \( a \), можно найти значение \( b \).
Шаг 5: Найдем координаты вершины параболы
Координаты вершины квадратичной функции находим по формуле:
\[ x_{max} = -\frac{b}{2a}. \]
Подставив найденные значения \( a \) и \( b \), сможем определить ставку налога на продажу, которая приведет к максимальным поступлениям в бюджет.
В результате проделанной работы мы находим, что максимальная ставка налога будет составлять приблизительно 24%.
Ответ:
Налоговая ставка, при которой будут максимальные поступления в бюджет Тридевятого царства, составляет 24%.
