Решить

Чтобы решить уравнение \((x - 5)^2 \cdot (7 - 2x)^2 = 9\), давайте разберёмся с каждым шагом:

1. Раскрытие квадратов:

   • Обозначим \(a = (x - 5)^2\) и \(b = (7 - 2x)^2\).
   • Тогда уравнение будет \(a \cdot b = 9\).

2. Представим как произведение множителей:

   • \(a \cdot b = 9\) можно решить, если \(a = 3\) и \(b = 3\) или \(a = -3\) и \(b = -3\).

3. Решение для \(a = 3\):

   • \((x - 5)^2 = 3\)
   • Найдем корни: \(x - 5 = \pm \sqrt{3}\)
   • Решая, получаем:
     • \(x = 5 + \sqrt{3}\)
     • \(x = 5 - \sqrt{3}\)

4. Решение для \(b = 3\):

   • \((7 - 2x)^2 = 3\)
   • Найдем корни: \(7 - 2x = \pm \sqrt{3}\)
   • После раскрытия, получаем:
     • \(2x = 7 \pm \sqrt{3}\)
     • \(x = \frac{7 + \sqrt{3}}{2}\)
     • \(x = \frac{7 - \sqrt{3}}{2}\)

5. Подбор общих решений:

   • Сравним результаты из шагов 3 и 4, чтобы найти подходящие решения.

6. Решение для \(a = -3\) и \(b = -3\):

   • \((x - 5)^2\) и \((7 - 2x)^2\) не могут быть отрицательными, поэтому эти случаи не дают действительных решений.

Итоги:

Решения уравнения:

• \(x = 5 + \sqrt{3}\)
• \(x = 5 - \sqrt{3}\)
• \(x = \frac{7 + \sqrt{3}}{2}\)
• \(x = \frac{7 - \sqrt{3}}{2}\)

Каждое из этих решений может быть проверено подстановкой обратно в исходное уравнение для проверки.