Для решения задачи, давайте сначала проанализируем ситуацию.
Мы имеем дело с вероятностью успеха и неудачи. Успех — это успешная отправка SMS, а неудача — это неуспешная отправка.
Согласно задаче, вероятность успешной отправки смс при каждой попытке равна ( p = 0,12 ). Следовательно, вероятность неуспешной отправки равна ( q = 1 - p = 1 - 0,12 = 0,88 ).
Задача требует найти наименьшее число попыток ( n ), чтобы вероятность хотя бы одной успешной отправки SMS была не ниже 0,8. Для этого воспользуемся формулой для вероятности хотя бы одного успеха:
[
P(\text{хотя бы один успех}) = 1 - P(\text{все неудачи}) = 1 - q^n
]
В данном случае, мы хотим, чтобы:
[
1 - q^n \geq 0,8
]
Подставим значение ( q ):
[
1 - (0,88)^n \geq 0,8
]
Теперь вычтем 1 из обеих сторон:
[
-(0,88)^n \geq -0,2
]
Умножим обе стороны на -1 (при этом знак неравенства поменяется):
[
(0,88)^n \leq 0,2
]
Теперь нам нужно найти минимальное ( n ), при котором это неравенство выполняется. Для этого мы можем взять логарифм от обеих сторон:
[
\log((0,88)^n) \leq \log(0,2)
]
Согласно свойству логарифмов, это можно переписать как:
[
n \cdot \log(0,88) \leq \log(0,2)
]
Теперь разделим обе стороны на ( \log(0,88) ). Поскольку логарифм от числа между 0 и 1 отрицателен, знак неравенства поменяется:
[
n \geq \frac{\log(0,2)}{\log(0,88)}
]
Теперь давайте посчитаем значения логарифмов.
Приблизительно:
[
\log(0,2) \approx -0,69897
]
[
\log(0,88) \approx -0,05307
]
Подставим эти значения в наше уравнение:
[
n \geq \frac{-0,69897}{-0,05307} \approx 13,16
]
Так как ( n ) должно быть целым числом, мы берем наименьшее целое число, которое больше или равно 13,16, то есть ( n = 14 ).
Таким образом, наименьшее число попыток, необходимое для достижения вероятности не менее 0,8, равно 14.
