реши задачу: в условиях плохой мобильной связи телефон производит серию последовательных попыток отправить смс. вероятность успешной отправки при каждой отдельной попытке равно…
Реши задачу: в условиях плохой мобильной связи телефон производит серию последовательных попыток отправить смс. вероятность успешной отправки при каждой отдельной попытке равно 0,12. конструкторам поставили задачи: при этих условиях вероятность лтправки смс должна быть не ниже , чем 0,8. делать неограниченное чило попыток нельзя во избежания зависания телефона. найдите наименьшее число попыток , при которой поставленная задача будет выполнена.
Для решения задачи, давайте сначала проанализируем ситуацию.
Мы имеем дело с вероятностью успеха и неудачи. Успех — это успешная отправка SMS, а неудача — это неуспешная отправка.
Согласно задаче, вероятность успешной отправки смс при каждой попытке равна \( p = 0,12 \). Следовательно, вероятность неуспешной отправки равна \( q = 1 - p = 1 - 0,12 = 0,88 \).
Задача требует найти наименьшее число попыток \( n \), чтобы вероятность хотя бы одной успешной отправки SMS была не ниже 0,8. Для этого воспользуемся формулой для вероятности хотя бы одного успеха:
\[ P(\text{хотя бы один успех}) = 1 - P(\text{все неудачи}) = 1 - q^n \]
В данном случае, мы хотим, чтобы:
\[ 1 - q^n \geq 0,8 \]
Подставим значение \( q \):
\[ 1 - (0,88)^n \geq 0,8 \]
Теперь вычтем 1 из обеих сторон:
\[ -(0,88)^n \geq -0,2 \]
Умножим обе стороны на -1 (при этом знак неравенства поменяется):
\[ (0,88)^n \leq 0,2 \]
Теперь нам нужно найти минимальное \( n \), при котором это неравенство выполняется. Для этого мы можем взять логарифм от обеих сторон:
\[ \log((0,88)^n) \leq \log(0,2) \]
Согласно свойству логарифмов, это можно переписать как:
\[ n \cdot \log(0,88) \leq \log(0,2) \]
Теперь разделим обе стороны на \( \log(0,88) \). Поскольку логарифм от числа между 0 и 1 отрицателен, знак неравенства поменяется:
\[ n \geq \frac{\log(0,2)}{\log(0,88)} \]
Теперь давайте посчитаем значения логарифмов.
Приблизительно:
\[ \log(0,2) \approx -0,69897 \]
\[ \log(0,88) \approx -0,05307 \]
Подставим эти значения в наше уравнение:
\[ n \geq \frac{-0,69897}{-0,05307} \approx 13,16 \]
Так как \( n \) должно быть целым числом, мы берем наименьшее целое число, которое больше или равно 13,16, то есть \( n = 14 \).
Таким образом, наименьшее число попыток, необходимое для достижения вероятности не менее 0,8, равно 14.
Обсуждение
2 сообщениядругое решение задачи
Для другого подхода к решению задачи мы можем воспользоваться теорией вероятностей и рассмотреть ситуацию через прямое вычисление вероятностей.
Мы знаем, что вероятность успешной отправки SMS составляет \( p = 0,12 \) и вероятность неудачи составляет \( q = 0,88 \).
Чтобы найти минимальное количество попыток \( n \), при котором вероятность хотя бы одной успешной отправки будет не менее \( 0,8 \), запишем условие:
\[ 1 - (0,88)^n \geq 0,8 \]
Перепишем это неравенство:
\[ (0,88)^n \leq 0,2 \]
Теперь мы можем считать каждую вероятность для последовательно увеличивающегося количества попыток \( n \) и проверять, когда выполяется условие. Для этого удобно использовать таблицу или вычисления в свободной форме.
Проверка для разных значений \( n \):
- \( n = 1 \):
\[ (0,88)^1 = 0,88 \quad (не подходит) \]
- \( n = 2 \):
\[ (0,88)^2 \approx 0,7744 \quad (не подходит) \]
- \( n = 3 \):
\[ (0,88)^3 \approx 0,681472 \quad (не подходит) \]
- \( n = 4 \):
\[ (0,88)^4 \approx 0,59969536 \quad (не подходит) \]
- \( n = 5 \):
\[ (0,88)^5 \approx 0,527731 \quad (не подходит) \]
- \( n = 6 \):
\[ (0,88)^6 \approx 0,464226 \quad (не подходит) \]
- \( n = 7 \):
\[ (0,88)^7 \approx 0,407142 \quad (не подходит) \]
- \( n = 8 \):
\[ (0,88)^8 \approx 0,360153 \quad (не подходит) \]
- \( n = 9 \):
\[ (0,88)^9 \approx 0,319481 \quad (не подходит) \]
- \( n = 10 \):
\[ (0,88)^{10} \approx 0,284501 \quad (не подходит) \]
- \( n = 11 \):
\[ (0,88)^{11} \approx 0,253552 \quad (не подходит) \]
- \( n = 12 \):
\[ (0,88)^{12} \approx 0,226084 \quad (не подходит) \]
- \( n = 13 \):
\[ (0,88)^{13} \approx 0,201600 \quad (подходит) \]
- \( n = 14 \):
\[ (0,88)^{14} \approx 0,177421 \quad (подходит) \]
Таким образом, для \( n = 13 \) набирается значение, после которого не выполняется неравенство, и только начиная с \( n = 14 \), значение в \( 0,177421 \) также подходит.
Итог:
Подводя итог, можно сказать, что наименьшее число попыток, необходимое для достижения вероятности не менее \( 0,8 \), будет равно 14.
Такое решение также демонстрирует вещественную проверку каждого значения \( n \) и может служить дополнительным подтверждением к предыдущему аналитическому решению.
