Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 20, 12 и 11. Найдите периметр четвёртого прямоугольника через уравнение

Чтобы решить задачу, давайте начнем с понятия периметра прямоугольника. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле: \[ P = 2(a + b) \] где \( a \) и \( b \) — стороны прямоугольника. Мы знаем, что прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника. Назовем их А (левый верхний), В (правый верхний), С (правый нижний) и D (левый нижний). Нам известны периметры трех из них: 1. \( P_A = 20 \) 2. \( P_B = 12 \) 3. \( P_C = 11 \) Теперь можем найти суммы сторон для каждого из них. ### Шаг 1: Найдем суммы сторон для A, B и C. 1. Для A: \[ P_A = 20 = 2(a_1 + b_1) \] \[ a_1 + b_1 = 10 \] (разделим обе стороны на 2) 2. Для B: \[ P_B = 12 = 2(a_2 + b_1) \] \[ a_2 + b_1 = 6 \] 3. Для C: \[ P_C = 11 = 2(a_2 + b_2) \] \[ a_2 + b_2 = 5.5 \] ### Шаг 2: Определим длины сторон для D. Теперь можно выразить стороны четвёртого прямоугольника D. У прямоугольников, которые находятся рядом, стороны могут быть равны: - Для D: \( P_D = 2(a_1 + b_2) \), и нам нужно найти \( P_D \). Следовательно, из уравнения можем найти \( b_2 \): 1. Из \( a_2 + b_2 = 5.5 \) получаем: \[ b_2 = 5.5 - a_2 \] Теперь мы знаем, что стороны \( b_1 \) и \( b_2 \) в прямоугольниках A и B связаны. ### Шаг 3: Выразим стороны через \( a_1 \) и \( a_2 \). 1. Из \( a_1 + b_1 = 10 \) находим: \[ b_1 = 10 - a_1 \] 2. Подставим значение \( b_1 \) в уравнение B: \[ a_2 + (10 - a_1) = 6 \] \[ a_2 - a_1 = -4 \] \[ a_2 = a_1 - 4 \] Теперь у нас есть выражение для \( a_2 \). Подставим это значение в уравнение для \( b_2 \): ### Шаг 4: Найдем \( P_D \) Подставив значение \( a_2 \) в уравнение для \( b_2 \): \[ b_2 = 5.5 - (a_1 - 4) = 9.5 - a_1 \] Теперь выразим \( P_D \): \[ P_D = 2(a_1 + b_2) = 2(a_1 + (9.5 - a_1)) = 2(9.5) = 19 \] ### Ответ Периметр четвёртого прямоугольника \( P_D \) равен **19**.