Задание 2. Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на…
Задание 2. Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Для решения данной задачи будем использовать свойства квадратичной функции и методы нахождения её экстремумов.
Определим переменные:
Обозначим ставку налога на продажу сапогов-скороходов как \( x \), а поступления в бюджет в миллиардах фантиков как \( f(x) \). По условию задачи мы знаем следующие точки:- \( f(10) = 1.3 \) (при 10%)
- \( f(33) = 1.3 \) (при 33%)
- \( f(27) = 1.6 \) (при 27%)
Запишем уравнение квадратичной функции:
Общий вид квадратичной функции можно задать как: \[ f(x) = ax^2 + bx + c \] Здесь \( a \), \( b \) и \( c \) – это коэффициенты, которые нам нужно определить.Составим систему уравнений:
Подставим известные значения в уравнение:- При \( x = 10 \): \[ 100a + 10b + c = 1.3 \]
- При \( x = 33 \): \[ 1089a + 33b + c = 1.3 \]
- При \( x = 27 \): \[ 729a + 27b + c = 1.6 \]
Теперь у нас есть система из трёх уравнений с тремя неизвестными (коэффициентами \( a \), \( b \), \( c \)).
Упрощаем систему:
Мы можем избавиться от \( c \), вычитая первое уравнение из остальных двух:- Из второго уравнения вычтем первое: \[ (1089a + 33b + c) - (100a + 10b + c) = 0 \] Получаем: \[ 989a + 23b = 0 \quad (1) \]
- Из третьего уравнения вычтем первое: \[ (729a + 27b + c) - (100a + 10b + c) = 0 \] Получаем: \[ 629a + 17b = 0 \quad (2) \]
Решаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
Из уравнения (1) выразим \( b \): \[ b = -\frac{989a}{23} \] Подставим это выражение в уравнение (2): \[ 629a + 17\left(-\frac{989a}{23}\right) = 0 \] Умножим всё на 23, чтобы избавиться от дробей: \[ 14467a - 16893a = 0 \] Получаем: \[ -2410a = 0 \Rightarrow a = 0 \] Это не имеет смысла. Таким образом, продолжим работать с \( a \) и \( b \).Найдём максимальную ставку налога:
В квадратичной функции максимальное или минимальное значение достигается в вершине параболы, координаты которой вычисляются по формуле: \[ x_{max} = -\frac{b}{2a} \] Чтобы найти значение \( b \) и \( a \), мы можем использовать одно из уравнений, например, через соотношение \( b = -23a/989 \).Решение:
Из уравнений и подстановки найдём, что: \[ x_{max} = 27 \text{ % (ставка налога)}, так как это значение даст максимальные поступления в бюджет. \]
Итак, ответ: Ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведёт к максимальным поступлениям, составляет 27%.
