Для решения задачи найдем площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды с основанием со сторонами 10 и боковыми рёбрами 13.
Шаг 1: Определение элементов пирамиды
Правильная треугольная пирамида имеет:
- Основание в форме равностороннего треугольника с длиной стороны ( a = 10 ).
- Боковые рёбра, которые соединяют вершину пирамиды с каждым из вершин основания. Длина бокового ребра равна ( l = 13 ).
Шаг 2: Найдем высоту боковой грани
Боковые грани треугольной пирамиды также являются равнобедренными треугольниками. Мы можем найти высоту боковой грани, используя свойства прямоугольного треугольника.
При рассмотрении одного из равнобедренных треугольников, основание которого равно стороне основания пирамиды (10), а боковая сторона равна длине бокового ребра (13), мы можем воспользоваться теоремой Пифагора:
- Половина основания равнобедренного треугольника (где высота пересекает основание) равна ( \frac{10}{2} = 5 ).
- Обозначим высоту равнобедренного треугольника как ( h ).
Согласно теореме Пифагора:
[
l^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2
]
Подставим известные значения:
[
13^2 = h^2 + 5^2
]
Это упрощается до:
[
169 = h^2 + 25
]
Решим уравнение для ( h^2 ):
[
h^2 = 169 - 25 = 144
]
Тогда ( h = \sqrt{144} = 12 ).
Шаг 3: Найдем площадь боковой поверхности
Боковая поверхность пирамиды состоит из трех одинаковых треугольных граней. Площадь одной боковой грани можно найти по формуле:
[
S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}
]
Подставим значение основания (10) и высоту (12):
[
S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times 10 \times 12 = 60
]
Поскольку у нас есть три боковые грани, общая площадь боковой поверхности будет:
[
S_{\text{боковой}} = 3 \times S_{\text{треугольника}} = 3 \times 60 = 180
]
Ответ
Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды составляет 180 квадратных единиц.
