На сторонах угла ВАС и его биссектрисе отложены равные отрезки АВ,АС,АД. Величина угла ВДС равна 160 гр. Определите величину угла ВАС.

Чтобы решить задачу, давайте обозначим углы и отрезки, с которыми мы будем работать. 1. Обозначим угол \( \angle BAD \) как \( x \). Тогда из-за того, что отрезки \( AB \), \( AC \) и \( AD \) равны, мы можем записать угол \( \angle DAC \) также как \( x \). 2. Угол \( \angle VDS \) равен 160°. 3. Угол \( \angle BAC \) (то есть угол \( VAS \)) становится: \[ \angle BAC = \angle BAD + \angle DAC = x + x = 2x. \] 4. Угол \( \angle BDS \) образуется при делении угла \( \angle VDS \) на две равные части, так как \( AD \) – биссектрисса. Таким образом, \[ \angle BDS = \frac{1}{2} \angle VDS = \frac{1}{2} \times 160° = 80°. \] 5. Теперь мы можем написать следующий треугольник: Для треугольника \( ABD \): \[ \angle ABD + \angle ADB + \angle BAD = 180°. \] Необходимо заметить, что из условия биссектрисы, прозвучавшей ранее, \( \angle ABD = 80°\). Значит: \[ 80° + \angle ADB + x = 180°. \] Упрощая, мы получаем: \[ \angle ADB = 180° - 80° - x = 100° - x. \] 6. В этом треугольнике \( ABD \) также верно, что: \[ \angle ADB + \angle DAC + \angle ABD = 180°. \] Подставим известные углы: \[ (100° - x) + x + 80° = 180°. \] Упрощаем: \[ 100° + 80° = 180°. \] Здесь подтверждается равенство. 7. Мы видим сейчас, что угол \( VAS \) равен \( 2x \), а каждая сумма углов равна \( 180°\). 8. Поскольку у нас \( \angle VDS \) равен \( 160°\), мы можем непосредственно найти, что угол \( \angle BAC \) (которая и есть \( x \)): Из того, что сумма углов равна 180, то: \[ 160° + \angle BAC = 180° \rightarrow \angle BAC = 20°. \] Таким образом, угол \( \angle VAS \) равен \( 20°\). Итого: \[ \angle VAS = 20°. \]