логарифм икс по основанию 12 плюс логарифм икс минус одиннадцати по основанию 12 меньше одного
Давайте решим неравенство с логарифмами:
\[ \log_{12}(x) + \log_{12}(x - 11) < 1 \]
Шаг 1: Используем свойства логарифмов
Сначала воспользуемся свойством логарифмов, которое гласит, что сумма логарифмов равна логарифму произведения:
\[ \log_{12}(x) + \log_{12}(x - 11) = \log_{12}(x \cdot (x - 11)) \]
Таким образом, неравенство становится:
\[ \log_{12}(x(x - 11)) < 1 \]
Шаг 2: Преобразуем неравенство
Неравенство с логарифмом можно переписать в экспоненциальной форме. Напомним, что если \(\log_b(a) < c\), то это эквивалентно \(a < b^c\). В нашем случае:
\[ x(x - 11) < 12^1 \] или \[ x(x - 11) < 12 \]
Шаг 3: Приведем уравнение к стандартному виду
Теперь у нас есть квадратичное неравенство:
\[ x^2 - 11x - 12 < 0 \]
Шаг 4: Найдем корни уравнения
Для нахождения корней квадратного уравнения \(x^2 - 11x - 12 = 0\) используем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 121 + 48 = 169 \]
Теперь находим корни по формуле:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{11 \pm 13}{2} \]
Это даёт два корня:
\[ x_1 = \frac{24}{2} = 12, \quad x_2 = \frac{-2}{2} = -1 \]
Шаг 5: Интервалы и знак многочлена
Теперь нам нужно исследовать знак многочлена \(x^2 - 11x - 12\) на интервалах, определённых корнями: \((-∞, -1)\), \((-1, 12)\), и \((12, +∞)\).
На интервале \((-∞, -1)\) выберем \(x = -2\): \[ (-2)^2 - 11(-2) - 12 = 4 + 22 - 12 = 14 > 0 \] (положительное)
На интервале \((-1, 12)\) выберем \(x = 0\): \[ 0^2 - 11 \cdot 0 - 12 = -12 < 0 \] (отрицательное)
На интервале \((12, +∞)\) выберем \(x = 13\): \[ 13^2 - 11 \cdot 13 - 12 = 169 - 143 - 12 = 14 > 0 \] (положительное)
Шаг 6: Неправильная пара или ограничение
Таким образом, два корня делят числовую прямую на три интервала. Мы ищем значение, на котором многочлен меньше нуля:
\[ (-1, 12) \]
Шаг 7: Условия существования логарифмов
Не забываем, что аргументы логарифмов должны быть положительными:
- \(x > 0\) для \(\log_{12}(x)\) и
- \(x - 11 > 0\) для \(\log_{12}(x - 11)\) => \(x > 11\).
Итог
Таким образом, принимая во внимание все вышеперечисленное, решение неравенства:
\[ x \in (11, 12) \]
Ответ: \(x \in (11, 12)\).
