Логарифм икс по основанию 12 плюс логарифм икс минус одиннадцати по основанию 12 меньше одного

Давайте решим неравенство с логарифмами: \[ \log_{12}(x) + \log_{12}(x - 11) < 1 \] ### Шаг 1: Используем свойства логарифмов Сначала воспользуемся свойством логарифмов, которое гласит, что сумма логарифмов равна логарифму произведения: \[ \log_{12}(x) + \log_{12}(x - 11) = \log_{12}(x \cdot (x - 11)) \] Таким образом, неравенство становится: \[ \log_{12}(x(x - 11)) < 1 \] ### Шаг 2: Преобразуем неравенство Неравенство с логарифмом можно переписать в экспоненциальной форме. Напомним, что если \(\log_b(a) < c\), то это эквивалентно \(a < b^c\). В нашем случае: \[ x(x - 11) < 12^1 \] или \[ x(x - 11) < 12 \] ### Шаг 3: Приведем уравнение к стандартному виду Теперь у нас есть квадратичное неравенство: \[ x^2 - 11x - 12 < 0 \] ### Шаг 4: Найдем корни уравнения Для нахождения корней квадратного уравнения \(x^2 - 11x - 12 = 0\) используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 121 + 48 = 169 \] Теперь находим корни по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{11 \pm 13}{2} \] Это даёт два корня: \[ x_1 = \frac{24}{2} = 12, \quad x_2 = \frac{-2}{2} = -1 \] ### Шаг 5: Интервалы и знак многочлена Теперь нам нужно исследовать знак многочлена \(x^2 - 11x - 12\) на интервалах, определённых корнями: \((-∞, -1)\), \((-1, 12)\), и \((12, +∞)\). 1. На интервале \((-∞, -1)\) выберем \(x = -2\): \[ (-2)^2 - 11(-2) - 12 = 4 + 22 - 12 = 14 > 0 \] (положительное) 2. На интервале \((-1, 12)\) выберем \(x = 0\): \[ 0^2 - 11 \cdot 0 - 12 = -12 < 0 \] (отрицательное) 3. На интервале \((12, +∞)\) выберем \(x = 13\): \[ 13^2 - 11 \cdot 13 - 12 = 169 - 143 - 12 = 14 > 0 \] (положительное) ### Шаг 6: Неправильная пара или ограничение Таким образом, два корня делят числовую прямую на три интервала. Мы ищем значение, на котором многочлен меньше нуля: \[ (-1, 12) \] ### Шаг 7: Условия существования логарифмов Не забываем, что аргументы логарифмов должны быть положительными: 1. \(x > 0\) для \(\log_{12}(x)\) и 2. \(x - 11 > 0\) для \(\log_{12}(x - 11)\) => \(x > 11\). ### Итог Таким образом, принимая во внимание все вышеперечисленное, решение неравенства: \[ x \in (11, 12) \] Ответ: \(x \in (11, 12)\).