На занятии в математическом кружке предложили свграть в игру и на доске написали некоторое число. По условиям, можно стереть последнюю цифру или прибавить к написаному числу 2019 и записать полученную сумму , при этом стереть предыдущее число. Играет один человек и указанные действия в любом порядке можно выполнять неограниченное число раз, получится ли при каком нибудь исходе увидеть на доске число 1? Да или нет

Для решения этой задачи давайте рассмотрим доступные операции и их последствия, а затем попробуем определить, возможно ли получить число 1. ### Операции игры: 1. **Стереть последнюю цифру числа.** - Эта операция делит текущее число на 10 (например, если было 258, то станет 25). 2. **Прибавить к текущему числу 2019.** - Это действие увеличивает текущее число на 2019 (например, если было 10, станет 2029). ### Стратегия анализа: Сначала проанализируем, что происходит с последней цифрой числа после применения обеих операций. #### 1. Стереть последнюю цифру Эта операция меняет число следующим образом: - Если число, скажем, 258 (в десятичной системе), то после удаления последней цифры получаем 25. - Это также приводит к тому, что если у нас было число \( x \), то после операции мы получаем \( \left\lfloor \frac{x}{10} \right\rfloor \). #### 2. Прибавить 2019 Прибавление 2019 будет влиять на последнее число, а именно: - Последняя цифра 2019 – это 9. То есть, прибавляя 2019, мы изменяем последнюю цифру на 9 в зависимости от предыдущего числа. ### Исследуем, как получить 1 Для того чтобы выяснить, возможно ли получить 1, давайте посмотрим на конечные числа после применения наших операций. - Если мы начнем с числа, не равного 1, но и не меньшего, чем 1, можно на первом этапе стереть последнюю цифру или добавить 2019. - Однако стереть последнюю цифру увеличивает количество разрядов, которые мы можем удалять. Например, начав с трехзначного числа, мы можем уменьшить его до двухзначного, а затем до однозначного. Теперь, ключевой момент: чтобы получить 1, нам нужно какие-то операции, которые позволят нам перезаписывать число до достижения именно 1. #### Номер 1 и операции: На самом деле, единственным способом получить 1 непосредственно является, чтобы у нас было число 10. После этого применения операции стереть последнюю цифру даст 1. Однако, так как прибавление 2019 увеличивает число: - Если на каждом шаге итерируемся по всем 10-значным числам, то через комбинацию операции "стереть последнюю цифру" и "добавить 2019", нельзя гарантированно получить 1 из любого большего числа, так как процесс ведёт к убиранию значимых разрядов и дальнейшему возрастанию итогового числа. Таким образом, **заключение**: Вопрос, возможно ли получить число 1, после выполнения операций “стереть последнюю цифру” и “добавить 2019” – **ответ: Нет**. С течением времени мы либо добавляем большие числа, либо уменьшаем количество разрядов в предшествующих числах, что не позволяет получить 1.