Для решения этой задачи нам нужно определить, сколькими способами дети могут выбрать фрукты из предложенных количеств. У нас есть:
- 10 бананов,
- 9 апельсинов,
- 9 яблок.
Нам нужно выбрать:
- 4 банана,
- 2 апельсина,
- 2 яблока.
Так как все фрукты одного вида являются одинаковыми (например, все бананы выглядят одинаково), это задача на комбинаторное сочетание.
Для решения будем использовать формулу сочетаний, которая выглядит так:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}
]
где:
- (C(n, k)) — число способов выбрать (k) элементов из (n) элементов,
- (n!) — факториал числа (n).
Теперь мы рассмотрим каждый вид фрукта по отдельности:
1. Выбор бананов
Мы выбираем 4 банана из 10. Здесь мы можем использовать формулу сочетаний:
[
C(10, 4) = \frac{10!}{4! \cdot (10 - 4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!}
]
Теперь посчитаем:
[
C(10, 4) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5040}{24} = 210
]
2. Выбор апельсинов
Мы выбираем 2 апельсина из 9:
[
C(9, 2) = \frac{9!}{2! \cdot (9 - 2)!} = \frac{9!}{2! \cdot 7!}
]
Посчитаем:
[
C(9, 2) = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = \frac{72}{2} = 36
]
3. Выбор яблок
Мы выбираем 2 яблока из 9:
[
C(9, 2) = \frac{9!}{2! \cdot (9 - 2)!} = \frac{9!}{2! \cdot 7!}
]
Считаем так же, как и для апельсинов:
[
C(9, 2) = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = \frac{72}{2} = 36
]
Итоговое число способов
Теперь мы умножим все полученные значения, чтобы найти общее количество способов выбрать фрукты:
[
\text{Общее количество способов} = C(10, 4) \cdot C(9, 2) \cdot C(9, 2) = 210 \cdot 36 \cdot 36
]
Сначала находим произведение (36 \cdot 36):
[
36 \cdot 36 = 1296
]
Теперь умножим на 210:
[
210 \cdot 1296 = 272160
]
Таким образом, дети могут выбрать 4 банана, 2 апельсина и 2 яблока для приготовления фруктового салата 272160 способами.
