В холодильнике 10 бананов, 9 апельсинов и 9 яблок. Сколькими способами дети могут выбрать 4 банана, 2 апельсина и 2 яблока для приготовления фруктового салата?

Для решения этой задачи нам нужно определить, сколькими способами дети могут выбрать фрукты из предложенных количеств. У нас есть:

• 10 бананов,
• 9 апельсинов,
• 9 яблок.

Нам нужно выбрать:

• 4 банана,
• 2 апельсина,
• 2 яблока.

Так как все фрукты одного вида являются одинаковыми (например, все бананы выглядят одинаково), это задача на комбинаторное сочетание.

Для решения будем использовать формулу сочетаний, которая выглядит так:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \]

где:

• \(C(n, k)\) — число способов выбрать \(k\) элементов из \(n\) элементов,
• \(n!\) — факториал числа \(n\).

Теперь мы рассмотрим каждый вид фрукта по отдельности:

1. Выбор бананов

Мы выбираем 4 банана из 10. Здесь мы можем использовать формулу сочетаний:

\[ C(10, 4) = \frac{10!}{4! \cdot (10 - 4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} \]

Теперь посчитаем:

\[ C(10, 4) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5040}{24} = 210 \]

2. Выбор апельсинов

Мы выбираем 2 апельсина из 9:

\[ C(9, 2) = \frac{9!}{2! \cdot (9 - 2)!} = \frac{9!}{2! \cdot 7!} \]

Посчитаем:

\[ C(9, 2) = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = \frac{72}{2} = 36 \]

3. Выбор яблок

Мы выбираем 2 яблока из 9:

\[ C(9, 2) = \frac{9!}{2! \cdot (9 - 2)!} = \frac{9!}{2! \cdot 7!} \]

Считаем так же, как и для апельсинов:

\[ C(9, 2) = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = \frac{72}{2} = 36 \]

Итоговое число способов

Теперь мы умножим все полученные значения, чтобы найти общее количество способов выбрать фрукты:

\[ \text{Общее количество способов} = C(10, 4) \cdot C(9, 2) \cdot C(9, 2) = 210 \cdot 36 \cdot 36 \]

Сначала находим произведение \(36 \cdot 36\):

\[ 36 \cdot 36 = 1296 \]

Теперь умножим на 210:

\[ 210 \cdot 1296 = 272160 \]

Таким образом, дети могут выбрать 4 банана, 2 апельсина и 2 яблока для приготовления фруктового салата 272160 способами.