Для решения задачи найдем дисперсию случайной величины (X), которая равна количеству пирожков с повидлом среди двух случайно выбранных пирожков.
Шаг 1: Определение случайной величины
Сначала у нас есть:
- Всего пирожков (N = 16)
- Пирожков с повидлом (k = 7)
Случайная величина (X) может принимать значения 0, 1 и 2, в зависимости от того, сколько пирожков с повидлом мы выберем.
Шаг 2: Вычисление вероятностей
Вероятность (P(X = 0)) (оба пирожка без повидла):
[
P(X = 0) = \frac{\text{количество способов выбрать 2 пирожка без повидла}}{\text{общее количество способов выбрать 2 пирожка}}
]
Количество пирожков без повидла:
[
N_{без} = N - k = 16 - 7 = 9
]
Общее количество способов выбрать 2 пирожка из 16:
[
C(16, 2) = \frac{16 \times 15}{2} = 120
]
Количество способов выбрать 2 пирожка без повидла:
[
C(9, 2) = \frac{9 \times 8}{2} = 36
]
Теперь подставим в формулу:
[
P(X = 0) = \frac{36}{120} = 0.3
]
Вероятность (P(X = 1)) (один пирожок с повидлом и один – без):
[
P(X = 1) = \frac{\text{количество способов выбрать 1 пирожок с повидлом и 1 без}}{\text{общее количество способов выбрать 2 пирожка}}
]
Количество способов выбрать 1 пирожок с повидлом:
[
C(7, 1) = 7
]
Количество способов выбрать 1 пирожок без повидла:
[
C(9, 1) = 9
]
Таким образом:
[
P(X = 1) = \frac{7 \times 9}{120} = \frac{63}{120} = 0.525
]
Вероятность (P(X = 2)) (оба пирожка с повидлом):
[
P(X = 2) = \frac{\text{количество способов выбрать 2 пирожка с повидлом}}{\text{общее количество способов выбрать 2 пирожка}}
]
Количество способов выбрать 2 пирожка с повидлом:
[
C(7, 2) = \frac{7 \times 6}{2} = 21
]
Теперь подставим в формулу:
[
P(X = 2) = \frac{21}{120} = 0.175
]
Теперь у нас есть вероятности для (X):
- (P(X = 0) = 0.3)
- (P(X = 1) = 0.525)
- (P(X = 2) = 0.175)
Шаг 3: Вычисление математического ожидания (E(X))
Математическое ожидание вычисляется следующим образом:
[
E(X) = \sum (x_i \cdot P(X = x_i)) = 0 \cdot 0.3 + 1 \cdot 0.525 + 2 \cdot 0.175
]
[
E(X) = 0 + 0.525 + 0.35 = 0.875
]
Шаг 4: Вычисление дисперсии (Var(X))
Дисперсия вычисляется по формуле:
[
Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2
]
Сначала найдем (E(X^2)):
[
E(X^2) = \sum (x_i^2 \cdot P(X = x_i)) = 0^2 \cdot 0.3 + 1^2 \cdot 0.525 + 2^2 \cdot 0.175
]
[
E(X^2) = 0 + 0.525 + 4 \cdot 0.175 = 0.525 + 0.7 = 1.225
]
Теперь подставим в формулу для дисперсии:
[
Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 1.225 - (0.875)^2
]
[
Var(X) = 1.225 - 0.765625 = 0.459375
]
Шаг 5: Округление
Округляем до сотых:
[
Var(X) \approx 0.46
]
Ответ
Дисперсия случайной величины (X) равна (0.46).
