Бабушка в честь приезда внуков напекла пирожки, их количество равно 16 шт., из которых с повидлом 7 шт. X - количество пирожков с повидлом среди двух случайно выбранных. Найди…

Для решения задачи найдем дисперсию случайной величины \(X\), которая равна количеству пирожков с повидлом среди двух случайно выбранных пирожков.

Шаг 1: Определение случайной величины

Сначала у нас есть:

• Всего пирожков \(N = 16\)
• Пирожков с повидлом \(k = 7\)

Случайная величина \(X\) может принимать значения 0, 1 и 2, в зависимости от того, сколько пирожков с повидлом мы выберем.

Шаг 2: Вычисление вероятностей

1. Вероятность \(P(X = 0)\) (оба пирожка без повидла): \[ P(X = 0) = \frac{\text{количество способов выбрать 2 пирожка без повидла}}{\text{общее количество способов выбрать 2 пирожка}} \] Количество пирожков без повидла: \[ N_{без} = N - k = 16 - 7 = 9 \] Общее количество способов выбрать 2 пирожка из 16: \[ C(16, 2) = \frac{16 \times 15}{2} = 120 \] Количество способов выбрать 2 пирожка без повидла: \[ C(9, 2) = \frac{9 \times 8}{2} = 36 \] Теперь подставим в формулу: \[ P(X = 0) = \frac{36}{120} = 0.3 \]

2. Вероятность \(P(X = 1)\) (один пирожок с повидлом и один – без): \[ P(X = 1) = \frac{\text{количество способов выбрать 1 пирожок с повидлом и 1 без}}{\text{общее количество способов выбрать 2 пирожка}} \] Количество способов выбрать 1 пирожок с повидлом: \[ C(7, 1) = 7 \] Количество способов выбрать 1 пирожок без повидла: \[ C(9, 1) = 9 \] Таким образом: \[ P(X = 1) = \frac{7 \times 9}{120} = \frac{63}{120} = 0.525 \]

3. Вероятность \(P(X = 2)\) (оба пирожка с повидлом): \[ P(X = 2) = \frac{\text{количество способов выбрать 2 пирожка с повидлом}}{\text{общее количество способов выбрать 2 пирожка}} \] Количество способов выбрать 2 пирожка с повидлом: \[ C(7, 2) = \frac{7 \times 6}{2} = 21 \] Теперь подставим в формулу: \[ P(X = 2) = \frac{21}{120} = 0.175 \]

Теперь у нас есть вероятности для \(X\):

• \(P(X = 0) = 0.3\)
• \(P(X = 1) = 0.525\)
• \(P(X = 2) = 0.175\)

Шаг 3: Вычисление математического ожидания \(E(X)\)

Математическое ожидание вычисляется следующим образом: \[ E(X) = \sum (x_i \cdot P(X = x_i)) = 0 \cdot 0.3 + 1 \cdot 0.525 + 2 \cdot 0.175 \] \[ E(X) = 0 + 0.525 + 0.35 = 0.875 \]

Шаг 4: Вычисление дисперсии \(Var(X)\)

Дисперсия вычисляется по формуле: \[ Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \]

Сначала найдем \(E(X^2)\): \[ E(X^2) = \sum (x_i^2 \cdot P(X = x_i)) = 0^2 \cdot 0.3 + 1^2 \cdot 0.525 + 2^2 \cdot 0.175 \] \[ E(X^2) = 0 + 0.525 + 4 \cdot 0.175 = 0.525 + 0.7 = 1.225 \]

Теперь подставим в формулу для дисперсии: \[ Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 1.225 - (0.875)^2 \] \[ Var(X) = 1.225 - 0.765625 = 0.459375 \]

Шаг 5: Округление

Округляем до сотых: \[ Var(X) \approx 0.46 \]

Ответ

Дисперсия случайной величины \(X\) равна \(0.46\).