Найдите углы равнобедренного треугольника, если: а угол при основании в два раза больше угла, противолежащего основанию б угол при основании в три раза меньше внешнего угла,…

Для решения задачи о нахождении углов равнобедренного треугольника, давайте обозначим углы:

• Пусть угол при основании называется \( A \), а угол противолежащий основанию (вершина) называется \( B \).

Часть а)

Условие гласит, что угол при основании в два раза больше угла, противолежащего основанию:

\[ A = 2B \]

Так как это равнобедренный треугольник, сумма углов в треугольнике равна 180 градусам:

\[ A + A + B = 180 \quad \text{(так как у нас два угла A)} \]

Это можно переписать как:

\[ 2A + B = 180 \]

Теперь подставим значение \( A \) из первого уравнения во второе:

\[ 2(2B) + B = 180 \] \[ 4B + B = 180 \] \[ 5B = 180 \] \[ B = \frac{180}{5} = 36^\circ \]

Теперь, зная \( B \), найдем \( A \):

\[ A = 2B = 2 \times 36 = 72^\circ \]

Ответ для части а):

• Угол при основании \( A = 72^\circ \)
• Угол противолежащий основанию \( B = 36^\circ \)

Часть б)

Теперь рассмотрим вторую часть задачи, где угол при основании в три раза меньше внешнего угла, смежного с ним. Внешний угол \( C_{ext} \) равен сумме несмежного угла \( B \) и угла \( A \):

\[ C_{ext} = A + B \]

Согласно условию задачи:

\[ A = \frac{1}{3}C_{ext} \]

Следовательно, подставим значение внешнего угла:

\[ A = \frac{1}{3}(A + B) \]

Теперь выразим это:

\[ 3A = A + B \] \[ 2A = B \]

Мы видим, что у нас появился новый набор уравнений. Так как мы также знаем, что \( A + A + B = 180 \):

Подставим \( B = 2A \):

\[ A + A + 2A = 180 \] \[ 4A = 180 \] \[ A = \frac{180}{4} = 45^\circ \]

Теперь найдём \( B \):

\[ B = 2A = 2 \times 45 = 90^\circ \]

Ответ для части б):

• Угол при основании \( A = 45^\circ \)
• Угол противолежащий основанию \( B = 90^\circ \)

Таким образом, в результате у нас получаются два варианта углов равнобедренного треугольника:

1. В первом случае: \( A = 72^\circ \), \( B = 36^\circ \)
2. Во втором случае: \( A = 45^\circ \), \( B = 90^\circ \) (это равнобедренный треугольник с прямым углом).