Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел 36, 54, 18 и 15, мы будем использовать известную связь между наименьшим общим кратным и наибольшим общим делителем (НОД). Сначала определим формулу:
[
\text{НОК}(a, b) = \frac{|a \times b|}{\text{НОД}(a, b)}
]
Таким образом, чтобы найти НОК для нескольких чисел, мы можем находить НОК последовательно для пар чисел. Начнём с первых двух чисел.
Шаг 1: Находим НОД(36, 54)
Сначала находим НОД двух чисел: 36 и 54. Мы будем использовать метод деления.
Делим большее число на меньшее:
[
54 \div 36 = 1 \quad \text{(остаток 18)}
]
Теперь делим 36 на остаток 18:
[
36 \div 18 = 2 \quad \text{(остаток 0)}
]
Когда остаток равен 0, последнее ненулевое число — это НОД. Таким образом:
[
\text{НОД}(36, 54) = 18
]
Шаг 2: Находим НОК(36, 54)
Теперь используем формулу для нахождения НОК:
[
\text{НОК}(36, 54) = \frac{|36 \times 54|}{\text{НОД}(36, 54)} = \frac{36 \times 54}{18}
]
Считаем:
[
36 \times 54 = 1944
]
[
\text{НОК}(36, 54) = \frac{1944}{18} = 108
]
Шаг 3: Находим НОД(108, 18)
Теперь найдем НОД для следующего числа 18:
[
\text{НОД}(108, 18)
]
- Делим:
[
108 \div 18 = 6 \quad \text{(остаток 0)}
]
Так как остаток равен 0, НОД равен 18:
[
\text{НОД}(108, 18) = 18
]
Шаг 4: Находим НОК(108, 18)
Теперь находим НОК:
[
\text{НОК}(108, 18) = \frac{108 \times 18}{\text{НОД}(108, 18)} = \frac{108 \times 18}{18} = 108
]
Шаг 5: Находим НОД(108, 15)
Теперь найдем НОД(108, 15):
Делим:
[
108 \div 15 = 7 \quad \text{(остаток 3)}
]
Теперь делим 15 на остаток 3:
[
15 \div 3 = 5 \quad \text{(остаток 0)}
]
Таким образом:
[
\text{НОД}(108, 15) = 3
]
Шаг 6: Находим НОК(108, 15)
Теперь можем найти НОК:
[
\text{НОК}(108, 15) = \frac{108 \times 15}{\text{НОД}(108, 15)} = \frac{108 \times 15}{3}
]
Считаем:
[
108 \times 15 = 1620
]
[
\text{НОК}(108, 15) = \frac{1620}{3} = 540
]
Ответ
Наименьшее общее кратное чисел 36, 54, 18 и 15 равно 540.
