Найди сумму первых пяти членов в последовательности ( a n ) (a n ) , если a 1 = − 4 a 1 =−4 и a n + 1 = 3 a n + 7 a n+1 =3a n +7 .
Чтобы найти сумму первых пяти членов в последовательности, указанной в задаче, начнем с определения первых членов этой последовательности.
Дано:
- Первый член: \( a_1 = -4 \)
- Рекуррентная формула для последовательности: \( a_{n+1} = 3a_n + 7 \)
Теперь мы можем найти следующие члены последовательности, используя рекуррентное соотношение.
Вычисление членов последовательности:
Первый член: \[ a_1 = -4 \]
Второй член: \[ a_2 = 3a_1 + 7 = 3(-4) + 7 = -12 + 7 = -5 \]
Третий член: \[ a_3 = 3a_2 + 7 = 3(-5) + 7 = -15 + 7 = -8 \]
Четвертый член: \[ a_4 = 3a_3 + 7 = 3(-8) + 7 = -24 + 7 = -17 \]
Пятый член: \[ a_5 = 3a_4 + 7 = 3(-17) + 7 = -51 + 7 = -44 \]
Теперь у нас есть пять членов последовательности: \[ a_1 = -4, \quad a_2 = -5, \quad a_3 = -8, \quad a_4 = -17, \quad a_5 = -44 \]
Сумма первых пяти членов:
Теперь мы можем найти сумму этих членов: \[ S = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 \] Подставим найденные значения: \[ S = (-4) + (-5) + (-8) + (-17) + (-44) \]
Сложим эти числа: \[ S = -4 - 5 - 8 - 17 - 44 \] Сначала сложим: \[ -4 - 5 = -9 \] Затем: \[ -9 - 8 = -17 \] Далее: \[ -17 - 17 = -34 \] И наконец: \[ -34 - 44 = -78 \]
Таким образом, сумма первых пяти членов последовательности равна: \[ \boxed{-78} \]
