Давайте решим задачу шаг за шагом.
Обозначим два натуральных числа как (x) и (y). По условию задачи у нас есть система уравнений:
- (x + y = 28) (сумма двух чисел)
- (x^2 + y^2 = 394) (сумма квадратов этих чисел)
Шаг 1: Использование первого уравнения
Из первого уравнения можно выразить одно число через другое. Например, выразим (y) через (x):
[
y = 28 - x
]
Шаг 2: Подставим во второе уравнение
Теперь подставим выражение для (y) во второе уравнение:
[
x^2 + (28 - x)^2 = 394
]
Теперь раскроем скобки:
[
x^2 + (28^2 - 56x + x^2) = 394
]
Упрощаем это:
[
x^2 + 784 - 56x + x^2 = 394
]
Соберем подобные члены:
[
2x^2 - 56x + 784 = 394
]
Шаг 3: Приведем уравнение к стандартному виду
Вычтем 394 из обеих сторон:
[
2x^2 - 56x + 390 = 0
]
Теперь упростим уравнение, разделив все коэффициенты на 2:
[
x^2 - 28x + 195 = 0
]
Шаг 4: Найдем корни уравнения
Для решения квадратного уравнения используем формулу корней:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где (a = 1), (b = -28), (c = 195). Посчитаем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-28)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 195 = 784 - 780 = 4
]
Теперь подставим значения в формулу корней:
[
x = \frac{28 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{28 \pm 2}{2}
]
Получаем два значения для (x):
[
x_1 = \frac{30}{2} = 15
]
[
x_2 = \frac{26}{2} = 13
]
Шаг 5: Найдем числа
Теперь у нас есть два возможных значения для (x): 15 и 13. Подставим их в выражение для (y):
- Если (x = 15), то (y = 28 - 15 = 13).
- Если (x = 13), то (y = 28 - 13 = 15).
Шаг 6: Запишем ответ
Таким образом, два натуральных числа, которые соответствуют условиям задачи, это 13 и 15. В порядке возрастания их следует записать как:
Ответ: 1315
