Арифметическая прогрессия задана формулой x(n)=2*n+1 а) Найдите сумму членов данной про- грессии с 7-ого по 20-й включительно. б) Какое наименьшее число членов данной прогрессии,…

Чтобы решить задачу, давайте подробно разберем шаги для каждой части.

Задача: Арифметическая прогрессия задана формулой \( x(n) = 2n + 1 \)

а) Найдите сумму членов данной прогрессии с 7-го по 20-й включительно.

1. Найдем члены прогрессии с 7-го по 20-й:
   Для начала, давайте вычислим значения членов прогрессии для \( n = 7 \) до \( n = 20 \).

   • \( x(7) = 2 \times 7 + 1 = 14 + 1 = 15 \)
   • \( x(8) = 2 \times 8 + 1 = 16 + 1 = 17 \)
   • \( x(9) = 2 \times 9 + 1 = 18 + 1 = 19 \)
   • \( x(10) = 2 \times 10 + 1 = 20 + 1 = 21 \)
   • \( x(11) = 2 \times 11 + 1 = 22 + 1 = 23 \)
   • \( x(12) = 2 \times 12 + 1 = 24 + 1 = 25 \)
   • \( x(13) = 2 \times 13 + 1 = 26 + 1 = 27 \)
   • \( x(14) = 2 \times 14 + 1 = 28 + 1 = 29 \)
   • \( x(15) = 2 \times 15 + 1 = 30 + 1 = 31 \)
   • \( x(16) = 2 \times 16 + 1 = 32 + 1 = 33 \)
   • \( x(17) = 2 \times 17 + 1 = 34 + 1 = 35 \)
   • \( x(18) = 2 \times 18 + 1 = 36 + 1 = 37 \)
   • \( x(19) = 2 \times 19 + 1 = 38 + 1 = 39 \)
   • \( x(20) = 2 \times 20 + 1 = 40 + 1 = 41 \)

   Теперь у нас есть члены прогрессии: 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41.

2. Сумма членов прогрессии: Чтобы найти сумму членов с 7-го по 20-й, мы сложим все эти значения.

   \[ S = x(7) + x(8) + ... + x(20) \] \[ S = 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 \]

   Сложив все числа, получим: \[ S = 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 = 585 \]

Таким образом, сумма членов с 7-го по 20-й включительно равна 585.

б) Какое наименьшее число членов данной прогрессии, начиная с первого, нужно взять, чтобы их сумма была больше 360?

1. Формула для суммы первых n членов арифметической прогрессии: Для нахождения суммы первых n членов арифметической прогрессии можно использовать формулу:

   \[ S_n = \frac{n}{2} \times (a + l) \]

   где \( a \) — первый член, \( l \) — последний член, а \( n \) — количество членов.

   В нашей прогрессии \( a = 2 \cdot 1 + 1 = 3 \) (первый член).

2. Вычисление суммы:
   Мы знаем, что последний член \( l \) для n-го члена будет \( x(n) = 2n + 1 \).

   Подставляя в формулу суммы, получим:

   \[ S_n = \frac{n}{2} \times (3 + (2n + 1)) = \frac{n}{2} \times (2n + 4) = n(n + 2) \]

   Мы хотим, чтобы сумма была больше 360:

   \[ n(n + 2) > 360 \]

3. Решим неравенство:
   Это квадратное неравенство. Решим его:

   \[ n^2 + 2n - 360 > 0 \]

   Найдем корни уравнения \( n^2 + 2n - 360 = 0 \) с помощью дискриминанта:

   \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-360) = 4 + 1440 = 1444 \]

   Корни:

   \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 38}{2} \]

   Это даёт нам два корня:

   \[ n_1 = \frac{36}{2} = 18, \quad n_2 = \frac{-40}{2} = -20 \]

   Поскольку n не может быть отрицательным, берем \( n_1 = 18 \).

   4. Проверка:
      Подставим \( n = 18 \):

   \[ S_{18} = 18(18 + 2) = 18 \cdot 20 = 360 \]

   Теперь проверим для \( n = 19 \):

   \[ S_{19} = 19(19 + 2) = 19 \cdot 21 = 399 \]

Таким образом, наименьшее число членов, чтобы сумма была больше 360, равно 19.