Даны точки А(1; 5), B(-2, 2), С(0; 0), D(3; 3). Докажите, что ABCD -прямоугольник.
Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, мы можем воспользоваться свойством, что в прямоугольнике углы между соседними сторонами равны 90 градусам. Для этого нам нужно проверить, что векторы, образованные сторонами ABCD, перпендикулярны между собой.
Шаг 1: Найдем координаты векторов AB, BC, CD и DA.
Вектор AB:
A(1, 5), B(-2, 2)
\( \vec{AB} = B - A = (-2 - 1, 2 - 5) = (-3, -3) \)Вектор BC:
B(-2, 2), C(0, 0)
\( \vec{BC} = C - B = (0 - (-2), 0 - 2) = (2, -2) \)Вектор CD:
C(0, 0), D(3, 3)
\( \vec{CD} = D - C = (3 - 0, 3 - 0) = (3, 3) \)Вектор DA:
D(3, 3), A(1, 5)
\( \vec{DA} = A - D = (1 - 3, 5 - 3) = (-2, 2) \)
Шаг 2: Проверим ортогональность векторов.
Для двух векторов \(\vec{a} = (x_1, y_1)\) и \(\vec{b} = (x_2, y_2)\) условие перпендикулярности выполняется, если их скалярное произведение равно нулю:
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 = 0 \]
Теперь проверим пары векторов:
Проверим \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\):
\( \vec{AB} = (-3, -3) \), \( \vec{BC} = (2, -2) \)
\( \vec{AB} \cdot \vec{BC} = (-3) \cdot 2 + (-3) \cdot (-2) = -6 + 6 = 0 \)
Эти векторы перпендикулярны.Теперь проверим \(\vec{BC}\) и \(\vec{CD}\):
\( \vec{BC} = (2, -2) \), \( \vec{CD} = (3, 3) \)
\( \vec{BC} \cdot \vec{CD} = 2 \cdot 3 + (-2) \cdot 3 = 6 - 6 = 0 \)
Эти векторы перпендикулярны.Теперь проверим \(\vec{CD}\) и \(\vec{DA}\):
\( \vec{CD} = (3, 3) \), \( \vec{DA} = (-2, 2) \)
\( \vec{CD} \cdot \vec{DA} = 3 \cdot (-2) + 3 \cdot 2 = -6 + 6 = 0 \)
Эти векторы перпендикулярны.Наконец, проверим \(\vec{DA}\) и \(\vec{AB}\):
\( \vec{DA} = (-2, 2) \), \( \vec{AB} = (-3, -3) \)
\( \vec{DA} \cdot \vec{AB} = (-2) \cdot (-3) + 2 \cdot (-3) = 6 - 6 = 0 \)
Эти векторы перпендикулярны.
Шаг 3: Сделаем вывод.
Поскольку все соседние стороны (векторы) перпендикулярны друг другу, это доказывает, что четырехугольник ABCD является прямоугольником.
