Две девочки вырезали 14 фигур. Катя вырезала несколько пятиугольников, Даша несколько шестиугольников. Всего у фигур 76 вершин. Сколько фигур вырезала Даша?

Давайте разберем задачу пошагово и постараемся понять, как ее решить.

1. Вводные данные:

   • Всего фигур: 14
   • У Кати - пятиугольники, у Даши - шестиугольники.
   • У фигур 76 вершин.

2. Обозначим переменные:

   • Пусть \( x \) - количество фигур, вырезанных Катей (пятиугольников).
   • Пусть \( y \) - количество фигур, вырезанных Дашей (шестиугольников).

   Из условия задачи мы знаем, что: \[ x + y = 14 \quad (1) \]

3. Количество вершин:

   • Пятиугольник имеет 5 вершин, поэтому у \( x \) фигур будет \( 5x \) вершин.
   • Шестиугольник имеет 6 вершин, соответственно у \( y \) фигур будет \( 6y \) вершин.

   Таким образом, у нас получается уравнение по количеству вершин: \[ 5x + 6y = 76 \quad (2) \]

4. Теперь решим систему уравнений: У нас есть две системы:

   • (1) \( x + y = 14 \)
   • (2) \( 5x + 6y = 76 \)

   Из (1) выразим \( y \): \[ y = 14 - x \quad (3) \]

   Подставим (3) в (2): \[ 5x + 6(14 - x) = 76 \] Раскроем скобки: \[ 5x + 84 - 6x = 76 \] Сложим подобные: \[ -x + 84 = 76 \] Переносим 84 вправо: \[ -x = 76 - 84 \] \[ -x = -8 \] Умножим на -1, чтобы избавиться от минуса: \[ x = 8 \]

   Теперь подставим значение \( x \) в (3), чтобы найти \( y \): \[ y = 14 - 8 = 6 \]

5. Ответ:
   Даша вырезала 6 фигур (шестиугольников).

6. Проверим результат:

   • Если \( x = 8 \), то у Кати 8 пятиугольников: \( 5 \times 8 = 40 \) вершин.
   • У Даши 6 шестиугольников: \( 6 \times 6 = 36 \) вершин.
   • Сложим количество вершин: \( 40 + 36 = 76 \).

Это соответствует условиям задачи, значит, решение правильное. Даша вырезала 6 фигур.