В турнире по настольному теннису принимало участие 32 теннисиста. Тур- нир проходил по олимпийской системе: в каждом раунде все игроки разби- ваются на пары, проигравший игру выбывает из турнира, а выигравший иг- ру выходит в следующий раунд (если это не финал). Два игрока, которые проиграли в полуфинале (в предпоследнем раунде) играют матч за 3-е ме- сто. (а) Сколько игр сыграл тот, кто занял второе место? (б) Сколько игр выиграл тот, кто занял третье место? (в) Сколько всего игр было сыграно за турнир?

Решим задачу поэтапно, чтобы понять, как работает олимпийская система турниров, и найдём ответы на все поставленные вопросы. ### (а) Сколько игр сыграл тот, кто занял второе место? В олимпийской системе турнира, если у нас 32 игрока, то в каждом раунде игроки разбиваются на пары, и каждый проигравший выбывает из турнира. 1. В первом раунде участвуют 32 игрока, что дает 16 игр (32 / 2 = 16). 2. 16 победителей проходят в следующий раунд: во втором раунде будет 16 игроков, что дает 8 игр (16 / 2 = 8). 3. 8 победителей проходят в третий раунд: здесь 8 игроков, что дает 4 игры (8 / 2 = 4). 4. 4 победителя проходят в четвертый раунд: 4 игрока — 2 игры (4 / 2 = 2). 5. 2 победителя проходят в финал: 2 игрока — 1 игра (в финале). Теперь, чтобы узнать, сколько игр сыграл тот, кто занял второе место, нужно понимать, что он проиграл одну игру в финале и выиграл во всех предыдущих раундах. - Он играл в: - 1 игру в четвертом раунде (4 игравших, 2 победителя). - 1 игру в третьем раунде (8 игравших, 4 победителя). - 1 игру во втором раунде (16 игравших, 8 победителей). - 1 игру в первом раунде (32 игравших, 16 победителей). - 1 финальную игру (где он занял второе место). Итак, игрок, занявший второе место, сыграл **4 игры**, поскольку он выиграл в первых четырёх раундах и проиграл в финале. ### (б) Сколько игр выиграл тот, кто занял третье место? Тот, кто занял третье место, также проиграл в полуфинале, а затем сыграл одну дополнительную игру за третье место с тем, кто также проиграл в полуфинале. 1. В полуфинале он выиграл две игры: - 1 игра в четвертом раунде (4 игрока, 2 победителя). - 1 игра в третьем раунде (8 игроков, 4 победителя). 2. Однако, в полуфинале он проиграл, и, чтобы сыграть за третье место, ему нужна была еще одна игра. Таким образом, он выиграл в двух играх, достаточно для выхода в полуфинал, но не выиграл там. То есть, итоговое количество выигранных игр тем, кто занял третье место — **2 выигранные игры**. ### (в) Сколько всего игр было сыграно за турнир? Общее количество игр в турнире можно посчитать, исходя из того, что в каждой игре один игрок выбывает. Поскольку у нас 32 игрока, чтобы определить чемпиона (один победитель), должно выбыть 31 игрок: - Всего игр = Число игроков - 1 = 32 - 1 = **31 игра**. ### Ответы на вопросы: (a) 4 игры. (b) 2 игры. (c) 31 игра.