Решением какого неравенства является объединение промежутков: ( − 3 ; 4 ) ∪ ( 7 ; + ∞ ) (−3;4)∪(7;+∞)? Выберите правильный вариант ответа. x 2 + 10 x + 21 x − 4 > 0 x−4 x 2…
Решением какого неравенства является объединение промежутков: ( − 3 ; 4 ) ∪ ( 7 ; + ∞ ) (−3;4)∪(7;+∞)? Выберите правильный вариант ответа. x 2 + 10 x + 21 x − 4 > 0 x−4 x 2 +10x+21 >0 x 2 + x − 12 x − 7 > 0 x−7 x 2 +x−12 >0 x 2 + 4 x + 21 x − 4 > 0 x−4 x 2 +4x+21 >0 x 2 − x − 12 x − 7 > 0 x−7 x 2 −x−12 >0
Чтобы определить, какое неравенство соответствует объединению промежутков \((-3; 4) \cup (7; +\infty)\), разберём каждое из предложенных неравенств по отдельности.
Первое неравенство: \[ x^2 + 10x + 21 > 0 \] Находим корни уравнения \(x^2 + 10x + 21 = 0\) через дискриминант: \[ D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 100 - 84 = 16 \] Корни: \[ x_1 = \frac{-10 + 4}{2} = -3; \quad x_2 = \frac{-10 - 4}{2} = -7 \] Результаты: \(x_1 = -3\), \(x_2 = -7\).
Функция имеет вид параболы, открывающейся вверх. Она будет принимать положительные значения за пределами корней, т.е. на промежутках: \[ (-\infty, -7) \cup (-3, +\infty) \] Этот промежуток не соответствует заданному.
Второе неравенство: \[ x^2 + x - 12 > 0 \] Находим корни уравнения \(x^2 + x - 12 = 0\): \[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \] Корни: \[ x_1 = \frac{-1 + 7}{2} = 3; \quad x_2 = \frac{-1 - 7}{2} = -4 \] Результаты: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -4\).
Парабола открыта вверх и принимает положительные значения на: \[ (-\infty, -4) \cup (3, +\infty) \] Этот результат также не соответствует нашему промежутку.
Третье неравенство: \[ x^2 + 4x + 21 > 0 \] Находим дискриминант: \[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 16 - 84 = -68 \] Поскольку дискриминант отрицателен, уравнение не имеет действительных корней, и \(x^2 + 4x + 21 > 0\) для всех \(x\). Это выражение не дает никаких промежутков.
Четвёртое неравенство: \[ x^2 - x - 12 > 0 \] Находим корни уравнения \(x^2 - x - 12 = 0\): \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \] Корни: \[ x_1 = \frac{1 + 7}{2} = 4; \quad x_2 = \frac{1 - 7}{2} = -3 \] Результаты: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -3\).
Парабола открыта вверх, и положительные значения будут на: \[ (-\infty, -3) \cup (4, +\infty) \] Этот промежуток не совпадает с заданным.
Теперь обратим внимание на созданные промежутки. Чтобы получить результат \((-3; 4) \cup (7; +\infty)\), нужно учитывать, что в промежутке от -3 до 4 функция должна быть отрицательной, а за его пределами (от 7 и далее) - положительной.
Таким образом, среди предложенных вариантов правильного неравенства не найдётся. Однако ближайшим по структуре будет второй вариант \(x^2 + x - 12 > 0\) потому, что оно также охватывает промежуток, схожий с \((-4; 3)\), но не идеально совпадает с требуемым, так как при \(x < -4\) значения отрицательные.
Подведем итог: ни один из вариантов не даёт точно нужного объединения \((-3; 4) \cup (7; +\infty)\). Тем не менее, если выбирать из предложенных, стоит отметить, что второе неравенство имеет хотя бы одну часть, которая является положительной (хотя и не в нужных диапазонах).
