Решением какого неравенства является объединение промежутков:
(
−
3
;
4
)
∪
(
7
;
+
∞
)
(−3;4)∪(7;+∞)?
Выберите правильный вариант ответа.
x
2
+
10
x
+
21
x
−
4
>
0
x−4
x
2
+10x+21
>0
x
2
+
x
−
12
x
−
7
>
0
x−7
x
2
+x−12
>0
x
2
+
4
x
+
21
x
−
4
>
0
x−4
x
2
+4x+21
>0
x
2
−
x
−
12
x
−
7
>
0
x−7
x
2
−x−12
>0
Чтобы определить, какое неравенство соответствует объединению промежутков \((-3; 4) \cup (7; +\infty)\), разберём каждое из предложенных неравенств по отдельности.
1. **Первое неравенство:**
\[
x^2 + 10x + 21 > 0
\]
Находим корни уравнения \(x^2 + 10x + 21 = 0\) через дискриминант:
\[
D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 100 - 84 = 16
\]
Корни:
\[
x_1 = \frac{-10 + 4}{2} = -3; \quad x_2 = \frac{-10 - 4}{2} = -7
\]
Результаты: \(x_1 = -3\), \(x_2 = -7\).
Функция имеет вид параболы, открывающейся вверх. Она будет принимать положительные значения за пределами корней, т.е. на промежутках:
\[
(-\infty, -7) \cup (-3, +\infty)
\]
Этот промежуток не соответствует заданному.
2. **Второе неравенство:**
\[
x^2 + x - 12 > 0
\]
Находим корни уравнения \(x^2 + x - 12 = 0\):
\[
D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49
\]
Корни:
\[
x_1 = \frac{-1 + 7}{2} = 3; \quad x_2 = \frac{-1 - 7}{2} = -4
\]
Результаты: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -4\).
Парабола открыта вверх и принимает положительные значения на:
\[
(-\infty, -4) \cup (3, +\infty)
\]
Этот результат также не соответствует нашему промежутку.
3. **Третье неравенство:**
\[
x^2 + 4x + 21 > 0
\]
Находим дискриминант:
\[
D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 16 - 84 = -68
\]
Поскольку дискриминант отрицателен, уравнение не имеет действительных корней, и \(x^2 + 4x + 21 > 0\) для всех \(x\). Это выражение не дает никаких промежутков.
4. **Четвёртое неравенство:**
\[
x^2 - x - 12 > 0
\]
Находим корни уравнения \(x^2 - x - 12 = 0\):
\[
D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49
\]
Корни:
\[
x_1 = \frac{1 + 7}{2} = 4; \quad x_2 = \frac{1 - 7}{2} = -3
\]
Результаты: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -3\).
Парабола открыта вверх, и положительные значения будут на:
\[
(-\infty, -3) \cup (4, +\infty)
\]
Этот промежуток не совпадает с заданным.
Теперь обратим внимание на созданные промежутки. Чтобы получить результат \((-3; 4) \cup (7; +\infty)\), нужно учитывать, что в промежутке от -3 до 4 функция должна быть отрицательной, а за его пределами (от 7 и далее) - положительной.
Таким образом, среди предложенных вариантов правильного неравенства не найдётся. Однако ближайшим по структуре будет второй вариант \(x^2 + x - 12 > 0\) потому, что оно также охватывает промежуток, схожий с \((-4; 3)\), но не идеально совпадает с требуемым, так как при \(x < -4\) значения отрицательные.
Подведем итог: ни один из вариантов не даёт точно нужного объединения \((-3; 4) \cup (7; +\infty)\). Тем не менее, если выбирать из предложенных, стоит отметить, что второе неравенство имеет хотя бы одну часть, которая является положительной (хотя и не в нужных диапазонах).
