В городе 10% всех жителей являются сторонниками одной и той же политической партии. Какова вероятность того, что среди трех наугад выбранных жителей города окажутся сторонниками…

Для решения задачи мы будем использовать вероятностные расчеты, исходя из информации, что 10% жителей являются сторонниками данной политической партии. Это можно представить как вероятность того, что случайно выбранный житель будет сторонником партии, равной \( p = 0.1 \), и вероятность того, что он не будет сторонником, равной \( q = 1 - p = 0.9 \).

Мы рассматриваем случай, когда мы выбираем 3 жителей. Это можно описать с помощью биномиального распределения. Вероятность того, что из \( n \) независимых испытаний (в нашем случае \( n = 3 \)) будет \( k \) успешных испытаний (сторонников партии), можно рассчитать по формуле:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{(n-k)} \]

где \( C(n, k) \) — это биномиальный коэффициент, который вычисляется как:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Теперь давайте рассмотрим каждую из частей задачи отдельно.

1) Вероятность того, что среди трех жителей окажутся сторонниками партии только двое:

Для \( k = 2 \):

\[ C(3, 2) = \frac{3!}{2!1!} = 3 \]

Теперь подставим в формулу:

\[ P(X = 2) = C(3, 2) \cdot p^2 \cdot q^{(3-2)} = 3 \cdot (0.1)^2 \cdot (0.9)^1 \] \[ = 3 \cdot 0.01 \cdot 0.9 = 3 \cdot 0.009 = 0.027 \]

Таким образом, вероятность того, что среди трех жителей только двое сторонники партии, равна 0.027 или 2.7%.

2) Вероятность того, что хотя бы один из трех жителей будет сторонником партии:

Вероятность того, что хотя бы один будет сторонником, можно найти, используя принцип дополнения:

\[ P(\text{хотя бы один}) = 1 - P(X = 0) \]

Сначала найдем \( P(X = 0) \):

\[ C(3, 0) = 1 \quad \text{(поскольку } C(n, 0) = 1) \] \[ P(X = 0) = C(3, 0) \cdot p^0 \cdot q^{3} = 1 \cdot (0.1)^0 \cdot (0.9)^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0.729 = 0.729 \]

Теперь подставим в формулу для вероятности хотя бы одного:

\[ P(\text{хотя бы один}) = 1 - 0.729 = 0.271 \]

Таким образом, вероятность того, что хотя бы один из трех жителей окажется сторонником партии, равна 0.271 или 27.1%.

3) Вероятность того, что все трое будут сторонниками партии:

Для \( k = 3 \):

\[ C(3, 3) = 1 \] \[ P(X = 3) = C(3, 3) \cdot p^3 \cdot q^{0} = 1 \cdot (0.1)^3 \cdot (0.9)^0 = 1 \cdot 0.001 \cdot 1 = 0.001 \]

Таким образом, вероятность того, что все трое будут сторонниками партии, равна 0.001 или 0.1%.

4) Вероятность того, что только один из трех жителей будет сторонником партии:

Для \( k = 1 \):

\[ C(3, 1) = 3 \] \[ P(X = 1) = C(3, 1) \cdot p^1 \cdot q^{(3-1)} = 3 \cdot (0.1)^1 \cdot (0.9)^2 \] \[ = 3 \cdot 0.1 \cdot 0.81 = 3 \cdot 0.081 = 0.243 \]

Таким образом, вероятность того, что только один из трех жителей будет сторонником партии, равна 0.243 или 24.3%.

Итоговые результаты:

1. Вероятность, что только двое: 0.027 (2.7%)
2. Вероятность, что хотя бы один: 0.271 (27.1%)
3. Вероятность, что все трое: 0.001 (0.1%)
4. Вероятность, что только один: 0.243 (24.3%)